Exercício 2: Considere um reator de tanque bem misturado contínuo com volume de 200 L e alimentado por uma corrente de
contendo
de um reagente A . A reação que ocorre no tanque tem cinética de
ordem (
) com
.
a) Calcule qual será a concentração de
no reator em estado estacionário.
b) Suponha que antes de chegar ao estado estacionário, o reator inicia com
de reagente. Resolva a EDO e esboce o gráfico da concentração em função do tempo.
c) Qual é o limite da função
que você encontrou no item b) quando
?
d) Qual é a conversão do reator no estado estacionário? Conversão no CSTR é definida como
, onde
é o reagente limitante.
a) Calcule qual será a concentração de
b) Suponha que antes de chegar ao estado estacionário, o reator inicia com
c) Qual é o limite da função
d) Qual é a conversão do reator no estado estacionário? Conversão no CSTR é definida como
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas (a–d). Dados fornecidos:
- Volume do reator:
. - Vazão de alimentação:
. - Concentração na alimentação:
. - Cinética: reação de primeira ordem com
e .
Perguntas:
(a) Calcular a concentração deno reator em estado estacionário.
(b) Supondo, resolver a equação diferencial que descreve e esboçar o gráfico vs .
(c) Calculara partir da solução do item (b).
(d) Calcular a conversão no estado estacionário, usando.
Passo 2
Montar o balanço de massa para o reator bem misturado (CSTR), lembrando cada termo:
- “Acumulação” dentro do volume:
. - “Entrada” por advecção:
. - “Saída” por advecção:
. - “Geração” (pela reação):
, e aqui (negativo porque consome ).
O balanço geral é
Substituindo
obtém-se
Dividindo por
para escrever como EDO padrão:
Definições úteis:
- Tempo de residência
- Coeficiente combinado
Estado estacionário:
. Da EDO no estado estacionário
Isolando
:
Agora substitui os números:
logo
Interpretação rápida: por causa da reação rápida (produto
grande), a concentração no reator fica muito abaixo da alimentação.
Passo 3
Resolver a EDO inicial com
. Reescrevendo a EDO já obtida:
onde definimos
e
.
Explicação do método (integ. fator, passo a passo):
- É uma EDO linear de primeira ordem. Solução geral: soma da solução particular (constante) e da solução da homogênea.
- A solução particular constante é exatamente o estado estacionário
. - A solução homogênea resolve
, com solução . - Combinar:
. - Aplicar condição inicial
dá .
Portanto
Substituindo os valores numéricos:
No gráfico
vs
isso é uma subida exponencial do valor inicial
até o assíntota
. Tempo característico de crescimento (constante de tempo) é
. Alguns pontos para esboço rápido:
-
: . -
: -
: -
: praticamente já está em regime ( ).
Desenhe uma curva exponencial crescente que rapidamente (em poucos minutos) se aproxima de.
Passo 4
Limite quando
. Da solução do Passo 3:
Substituindo o valor numérico:
Passo 5
Conversão no estado estacionário. Definição:
com
e
. Simplificando:
Usando
obtém-se
Com
(calculado antes), temos
Resposta
(a)
(b) (com
); gráfico: subida exponencial de
até
com constante de tempo
.
(c)
(d) (ou
)
(b)
(c)
(d)