Exercício 1: Um tanque bem misturado contém 600 L de uma solução com concentração inicial
de uma substância
. Este tanque é alimentado por uma corrente
com concentração
e esvaziado por uma corrente
. Qual será a concentração de
no tanque após 90 min ? Assuma que o volume de fluido no tanque é constante. Não ocorre reação.
- Escreva o balanço de massa total.
- Escreva o balanço de massa por componente em termos das concentrações e vazões volumétricas.
- Tente separar o que depende de
de um lado e o que depende de
do outro. Resolva as integrais sabendo que
.
- A última etapa da resolução é usar a condição inicial para encontrar o valor da constante de integração.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem a seguir peguei do enunciado).
- Volume do tanque:
. - Concentração inicial no tanque:
. - Vazão de entrada:
com concentração de entrada . - Vazão de saída:
. - Não há reação; o tanque é bem misturado (ou seja, a concentração é homogênea no líquido do tanque).
- O volume no tanque é constante (o enunciado diz para assumir isso).
O enunciado pede:
- Escrever o balanço de massa total.
- Escrever o balanço de massa por componente (para
) em termos de concentrações e vazões. - Resolver a equação obtida separando o que depende de
do que depende de , usando a integral indicada. - Aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração e, finalmente, calcular a concentração de
após min.
Passo 2
Balanço de massa total (do fluido). Explicando: o balanço de massa total para o volume do tanque é simplesmente a diferença entre vazão de entrada e vazão de saída, pois não há compressibilidade nem reação do solvente. Em forma matemática:
Substituindo os dados:
e
, então
Portanto
é constante e vale
. (Isto confirma a hipótese do enunciado.)
Passo 3
Balanço de massa do componente
. Explicando a ideia: massa de
no tanque muda porque entra
pela corrente de entrada e sai pela corrente de saída. Para um tanque bem misturado, a concentração na saída é a mesma que a concentração do tanque
.
Seja
a massa de
no tanque em gramas. Então
com
em
e
em
, de modo que
tem unidades de g.
O balanço de massa (sem reação) é
As taxas são: entrada
(g/min) e saída
(g/min). Assim
Passo 4
Usando
constante simplificamos. Como
é constante, pode-se tirar
para fora da derivada:
Agora substituímos os valores numéricos (todos em notação matemática):
Calcule
:
Logo
Dividindo por
para obter uma equação para
:
Simplificando as frações
e
:
Passo 5
Reescrevendo a equação numa forma conveniente para separar variáveis. É útil reconhecer que esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem e também pode ser vista como
pois
. Este rearranjo mostra que
tende exponencialmente para
(o valor de regime permanente), mas vamos integrar usando separação como o enunciado pede.
Colocando todos os termos em
de um lado e
do outro:
Isto tem a forma
indicada no enunciado, com
e
.
Passo 6
Integração usando a fórmula dada. A fórmula é
Aplicando ao nosso caso (com
,
,
):
Integrando os dois lados da equação
obtemos
onde
é constante de integração. Como
, podemos escrever
Multiplicando por
e reorganizando:
onde
. Agora exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante positiva desconhecida.
Passo 7
Isolando
em termos de
:
Dividindo
dá
. Assim a forma mais clara é
É conveniente definir
para simplificar:
Agora usamos a condição inicial
para achar
:
Logo
.
Portanto a solução completa é
(Observação curta: esta forma é equivalente à forma
com
e
porque
.)
Passo 8
Calcular
em
. Primeiro achar o expoente:
portanto
. Usando o valor aproximado
, temos
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):