Exercício 1: Um tanque bem misturado contém 600 L de uma solução com concentração inicial C_{A}(0)=10 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de uma substância A. Este tanque é alimentado por uma corrente v_{0}=15 \mathrm{~L} / \mathrm{min} com concentração C_{A_{0}}=60 \mathrm{~g} / \mathrm{L} e esvaziado por uma corrente v_{1}=15 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Qual será a concentração de A no tanque após 90 min ? Assuma que o volume de fluido no tanque é constante. Não ocorre reação.
  • Escreva o balanço de massa total.
  • Escreva o balanço de massa por componente em termos das concentrações e vazões volumétricas.
  • Tente separar o que depende de C_{A} de um lado e o que depende de t do outro. Resolva as integrais sabendo que \int \frac{\mathrm{d} x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln (a x+b)+C.
  • A última etapa da resolução é usar a condição inicial para encontrar o valor da constante de integração.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem a seguir peguei do enunciado).
  • Volume do tanque: V=600\\ \mathrm{L}.
  • Concentração inicial no tanque: C_A(0)=10\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Vazão de entrada: v_0=15\\ \mathrm{L}/\mathrm{min} com concentração de entrada C_{A0}=60\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Vazão de saída: v_1=15\\ \mathrm{L}/\mathrm{min}.
  • Não há reação; o tanque é bem misturado (ou seja, a concentração é homogênea no líquido do tanque).
  • O volume no tanque é constante (o enunciado diz para assumir isso).
O enunciado pede:
  1. Escrever o balanço de massa total.
  2. Escrever o balanço de massa por componente (para A) em termos de concentrações e vazões.
  3. Resolver a equação obtida separando o que depende de C_A do que depende de t, usando a integral indicada.
  4. Aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração e, finalmente, calcular a concentração de A após 90 min.

Passo 2

Balanço de massa total (do fluido). Explicando: o balanço de massa total para o volume do tanque é simplesmente a diferença entre vazão de entrada e vazão de saída, pois não há compressibilidade nem reação do solvente. Em forma matemática:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=v_0-v_1.
Substituindo os dados: v_0=15\\ \mathrm{L}/\mathrm{min} e v_1=15\\ \mathrm{L}/\mathrm{min}, então
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=15-15=0.
Portanto V é constante e vale V=600\\ \mathrm{L}. (Isto confirma a hipótese do enunciado.)

Passo 3

Balanço de massa do componente A. Explicando a ideia: massa de A no tanque muda porque entra A pela corrente de entrada e sai pela corrente de saída. Para um tanque bem misturado, a concentração na saída é a mesma que a concentração do tanque C_A(t).
Seja M_A(t) a massa de A no tanque em gramas. Então
M_A(t)=V\;C_A(t),
com V em \mathrm{L} e C_A em \mathrm{g}/\mathrm{L}, de modo que M_A tem unidades de g.
O balanço de massa (sem reação) é
\frac{\mathrm{d}M_A}{\mathrm{d}t} = \text{taxa de entrada de }A - \text{taxa de saída de }A.í
As taxas são: entrada = v_0\,C_{A0} (g/min) e saída = v_1\,C_A(t) (g/min). Assim
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(V\,C_A(t)\big)=v_0\,C_{A0}-v_1\,C_A(t).

Passo 4

Usando V constante simplificamos. Como V é constante, pode-se tirar V para fora da derivada:
V\,\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t}=v_0\,C_{A0}-v_1\,C_A(t).
Agora substituímos os valores numéricos (todos em notação matemática):
600\,\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t}=15\cdot 60 - 15\,C_A(t).
Calcule 15\cdot 60:
15\cdot 60 = 900.
Logo
600\,\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t}=900 - 15\,C_A(t).
Dividindo por 600 para obter uma equação para \dfrac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t}:
\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t} = \frac{900}{600} - \frac{15}{600} C_A(t).
Simplificando as frações \frac{900}{600}=1,5 e \frac{15}{600}=0,025:
\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t} = 1,5 - 0,025\,C_A(t).

Passo 5

Reescrevendo a equação numa forma conveniente para separar variáveis. É útil reconhecer que esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem e também pode ser vista como
\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t} = -0,025\big(C_A(t)-60\big),
pois 1,5/0,025=60. Este rearranjo mostra que C_A(t) tende exponencialmente para 60\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} (o valor de regime permanente), mas vamos integrar usando separação como o enunciado pede.
Colocando todos os termos em C_A de um lado e t do outro:
\frac{\mathrm{d}C_A}{-0,025\,C_A + 1,5} = \mathrm{d}t.
Isto tem a forma \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{a x + b} indicada no enunciado, com a=-0,025 e b=1,5.

Passo 6

Integração usando a fórmula dada. A fórmula é
\int \frac{\mathrm{d}x}{a x + b} = \frac{1}{a}\ln\big(a x + b\big) + C.
Aplicando ao nosso caso (com x=C_A, a=-0,025, b=1,5):
\int \frac{\mathrm{d}C_A}{-0,025\,C_A + 1,5} = \frac{1}{-0,025}\ln\big(-0,025\,C_A + 1,5\big) + C.
Integrando os dois lados da equação \dfrac{\mathrm{d}C_A}{-0,025\,C_A + 1,5} = \mathrm{d}t obtemos
\frac{1}{-0,025}\ln\big(-0,025\,C_A + 1,5\big) = t + K,
onde K é constante de integração. Como \dfrac{1}{-0,025}=-40, podemos escrever
-40\ln\big(-0,025\,C_A + 1,5\big) = t + K.
Multiplicando por -1 e reorganizando:
40\ln\big(-0,025\,C_A + 1,5\big) = -t + K_1,
onde K_1=-K. Agora exponenciando ambos os lados:
-0,025\,C_A + 1,5 = B\,\mathrm{e}^{-t/40},
onde B=\mathrm{e}^{K_1/40}>0 é uma constante positiva desconhecida.

Passo 7

Isolando C_A(t) em termos de B:
-0,025\,C_A(t) = B\,\mathrm{e}^{-t/40} - 1,5,
C_A(t) = \frac{1,5 - B\,\mathrm{e}^{-t/40}}{0,025}.
Dividindo 1,5/0,025 60. Assim a forma mais clara é
C_A(t) = 60 - \frac{B}{0,025}\,\mathrm{e}^{-t/40}.
É conveniente definir A=\dfrac{B}{0,025} para simplificar:
C_A(t)=60 - A\,\mathrm{e}^{-t/40}.
Agora usamos a condição inicial C_A(0)=10 para achar A:
10 = 60 - A\,\mathrm{e}^{0} = 60 - A.
Logo A = 60 - 10 = 50.
Portanto a solução completa é
\boxed{C_A(t)=60 - 50\,\mathrm{e}^{-t/40}}.
(Observação curta: esta forma é equivalente à forma C_A(t)=C_{\text{ss}} + (C_A(0)-C_{\text{ss}})\mathrm{e}^{-k t} com C_{\text{ss}}=60 e k=0,025 porque e^{-t/40}=e^{-0,025t}.)

Passo 8

Calcular C_A em t=90\\ \mathrm{min}. Primeiro achar o expoente:
-0,025\cdot 90 = -2,25,
portanto \mathrm{e}^{-0,025\cdot 90}=\mathrm{e}^{-2,25}. Usando o valor aproximado \mathrm{e}^{-2,25}\approx 0,105399, temos
C_A(90)=60 - 50\cdot 0,105399\approx 60 - 5,26995 \approx 54,73005.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais):
C_A(90)\approx 54,73\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.

Resposta

C_A(90)=54,73\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}

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