Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
, onde
é o sólido limitado pelos planos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelos planos
,
,
,
,
e
.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- A região
é um paralelepípedo com limites constantes: -
, -
, -
.
-
- A função a integrar é
. - A tarefa: avaliar a integral tripla acima (ou seja, encontrar um número).
Passo 2
Ideia prática e regra que vamos usar (explicada com calma).
- Quando a região de integração é um produto de intervalos (como aqui:
), a integral tripla pode ser computada como uma integral iterada por Fubini: integrar uma variável de cada vez. - Em notação de integral iterada podemos escrever
ou em qualquer outra ordem. Aqui é conveniente integrar primeiro em
porque os limites de
são constantes e o integrando é simples em
.
Observação sobre integração parcial: ao integrar em relação a uma variável (por exemplo
), as outras (
) são tratadas como constantes.
Passo 3
Escrever a integral iterada explícita com a ordem
:
Passo 4
Integrar em
primeiro. Vou mostrar passo a passo como integrar
.
- Regra usada:
e quando é constante em relação a . - Aqui
e são constantes na integração em . Então
- Calcular cada termo:
- Somando,
Portanto a integral reduz-se a
Passo 5
Agora integro em
(entre
e
). Novamente
é tratado como constante nesta etapa.
- Reescrevo o integrando como soma de termos que dependem separadamente:
. - Uso as regras:
-
(pois é constante em ), -
.
-
- Avaliando entre
e :
- Calcular a diferença:
Agora a integral ficou reduzida a uma integral simples em
:
Passo 6
Integrar em
entre
e
.
- Regras usadas:
e . - Então
- Avaliando:
- Somando as parcelas escrevendo na mesma fração:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
- Todas as integrações foram feitas usando regras básicas (potência e constante) e avaliando nos limites.
- A região sendo retangular simplificou muito (limites constantes), por isso a ordem
foi direta e conveniente. - O resultado final é o número
.