Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
\iiint_{T}\left(x^{2} z+y\right) d V, onde T é o sólido limitado pelos planos x=0, x= 1, y=1, y=3, z=0, e z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T}\left(x^{2} z+y\right)\,dV,
onde T é o sólido limitado pelos planos x=0, x=1, y=1, y=3, z=0 e z=2.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • A região T é um paralelepípedo com limites constantes:
    • 0 \le x \le 1,
    • 1 \le y \le 3,
    • 0 \le z \le 2.
  • A função a integrar é f(x,y,z)=x^{2}z+y.
  • A tarefa: avaliar a integral tripla acima (ou seja, encontrar um número).

Passo 2

Ideia prática e regra que vamos usar (explicada com calma).
  • Quando a região de integração é um produto de intervalos (como aqui: [0,1]\times[1,3]\times[0,2]), a integral tripla pode ser computada como uma integral iterada por Fubini: integrar uma variável de cada vez.
  • Em notação de integral iterada podemos escrever
\iiint_{T} f(x,y,z)\,dV = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=1}^{3}\!\int_{z=0}^{2} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx,
ou em qualquer outra ordem. Aqui é conveniente integrar primeiro em z porque os limites de z são constantes e o integrando é simples em z.
Observação sobre integração parcial: ao integrar em relação a uma variável (por exemplo z), as outras ( x,y) são tratadas como constantes.

Passo 3

Escrever a integral iterada explícita com a ordem dz\,dy\,dx:
\iiint_{T}\left(x^{2} z+y\right)\,dV = \int_{0}^{1}\!\int_{1}^{3}\!\int_{0}^{2}\left(x^{2} z+y\right)\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integrar em z primeiro. Vou mostrar passo a passo como integrar \int_{0}^{2}\left(x^{2} z+y\right)\,dz.
  • Regra usada: \displaystyle\int z\,dz=\frac{z^{2}}{2} e \displaystyle\int c\,dz = c z quando c é constante em relação a z.
  • Aqui x e y são constantes na integração em z. Então
\int_{0}^{2}\left(x^{2} z+y\right)\,dz = x^{2}\int_{0}^{2} z\,dz \;+\; y\int_{0}^{2}1\,dz.
  • Calcular cada termo:
x^{2}\int_{0}^{2} z\,dz = x^{2}\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=x^{2}\cdot\frac{2^{2}}{2}=x^{2}\cdot 2=2x^{2},
y\int_{0}^{2}1\,dz = y\,[z]_{0}^{2}=y\cdot 2=2y.
  • Somando,
\int_{0}^{2}\left(x^{2} z+y\right)\,dz = 2x^{2}+2y.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}\!\int_{1}^{3}\left(2x^{2}+2y\right)\,dy\,dx.

Passo 5

Agora integro em y (entre 1 e 3). Novamente x é tratado como constante nesta etapa.
  • Reescrevo o integrando como soma de termos que dependem separadamente: 2x^{2}+2y.
  • Uso as regras:
    • \displaystyle\int 2x^{2}\,dy = 2x^{2}\,y (pois x^{2} é constante em y),
    • \displaystyle\int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}.
  • Avaliando entre y=1 e y=3:
\int_{1}^{3}\left(2x^{2}+2y\right)\,dy = \big[\,2x^{2}y + y^{2}\,\big]_{1}^{3}.
  • Calcular a diferença:
= \left(2x^{2}\cdot 3 + 3^{2}\right) - \left(2x^{2}\cdot 1 + 1^{2}\right) = (6x^{2}+9) - (2x^{2}+1) = 4x^{2} + 8.
Agora a integral ficou reduzida a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1}\left(4x^{2}+8\right)\,dx.

Passo 6

Integrar em x entre 0 e 1.
  • Regras usadas: \displaystyle\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} e \displaystyle\int 1\,dx = x.
  • Então
\int_{0}^{1}\left(4x^{2}+8\right)\,dx = 4\int_{0}^{1}x^{2}\,dx + 8\int_{0}^{1}1\,dx = 4\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} + 8\,[x]_{0}^{1}.
  • Avaliando:
4\cdot\frac{1^{3}-0^{3}}{3} + 8\cdot(1-0) = \frac{4}{3} + 8.
  • Somando as parcelas escrevendo na mesma fração:
\frac{4}{3} + 8 = \frac{4}{3} + \frac{24}{3} = \frac{28}{3}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
  • Todas as integrações foram feitas usando regras básicas (potência e constante) e avaliando nos limites.
  • A região sendo retangular simplificou muito (limites constantes), por isso a ordem dz\,dy\,dx foi direta e conveniente.
  • O resultado final é o número \dfrac{28}{3}.

Resposta

\dfrac{28}{3}

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