Para todo n \in \mathbb{N}, considere a função f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f_{n}(x)=x^{n}. Prove que vale a seguinte regra de derivação:
\frac{d f_{n}}{d x}=n \cdot x^{n-1}

Passo 1

O enunciado dá, para cada n\in\mathbb{N}, a função f_{n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f_{n}(x)=x^{n}. O que se pede é provar que a derivada de f_{n} em um ponto x é
\frac{d f_{n}}{d x}=n\cdot x^{n-1}.
Informações relevantes: a definição de f_n (potência inteira) e que a derivada será obtida a partir do limite do quociente incremental.

Passo 2

Lembrete (definição de derivada). A derivada de uma função f em um ponto x é, por definição,
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
desde que esse limite exista. Vou aplicar essa definição a f_{n}(x)=x^{n}.

Passo 3

Caso separado: n=0. Quando n=0 tem-se f_{0}(x)=x^{0}=1 para todo x, ou seja, f_{0} é a função constante igual a 1. A derivada de uma constante é 0, pois
\frac{f_{0}(x+h)-f_{0}(x)}{h}=\frac{1-1}{h}=0
para todo h\neq0, e o limite quando h\to0 é 0. Portanto, para n=0 vale
f_{0}'(x)=0.
(Isto é coerente: a fórmula n\cdot x^{n-1} quando n=0 daria 0\cdot x^{-1}, expressão que convém interpretar separadamente; por isso tratamos n=0 à parte.)

Passo 4

Fórmula básica que usarei: o Teorema do Binômio de Newton para expoente inteiro não-negativo. Para n\in\mathbb{N} e quaisquer números reais x e h,
(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k},
onde \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial (constante que não depende de h). Exemplo simples para fixar a ideia: (x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.

Passo 5

Aplicar o binômio ao quociente incremental. Para n\ge 1,
\frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h}=\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} =\frac{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k}-x^{n}}{h}.
Ao subtrair x^{n} cancela o termo k=0, ficando
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} =\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{\,k-1}.
Separe o primeiro termo da soma ( k=1) das somas restantes:
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} =\binom{n}{1}x^{\,n-1} + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{\,k-1}.
Como \binom{n}{1}=n, isso é
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n x^{\,n-1} + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{\,k-1}.

Passo 6

Agora tome o limite quando h\to 0. Cada soma no segundo termo contém uma potência de h com expoente pelo menos 1 (pois k-1\ge 1 para k\ge 2). Os coeficientes \binom{n}{k}x^{\,n-k} são constantes em relação a h. Portanto, para cada k\ge 2,
\lim_{h\to 0}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{\,k-1}= \binom{n}{k}x^{\,n-k}\cdot 0 = 0.
Pelo teorema da passagem do limite soma a soma dos limites (soma finita), obtemos
\lim_{h\to 0}\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{\,k-1}=0.
Assim, usando a expressão do Passo 5,
f_{n}'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} =\lim_{h\to 0}\left(n x^{\,n-1} + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{\,k-1}\right) = n x^{\,n-1}.
Isso vale para todo x\in\mathbb{R} e todo n\ge 1.

Passo 7

Resumo e observações finais. Juntando os dois casos:
  • Para n=0 tem-se f_{0}'(x)=0.
  • Para n\ge 1 tem-se f_{n}'(x)=n x^{\,n-1}.
A demonstração foi feita diretamente pela definição de derivada e pela expansão binomial, e não usa regras de derivação prévias além da definição e das propriedades básicas de limites.

Resposta

f_{0}'(x)=0
f_{n}'(x)=n\cdot x^{n-1} para todo n\ge 1

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