Para todo
, considere a função
definida por
. Prove que vale a seguinte regra de derivação:
Passo 1
O enunciado dá, para cada
, a função
definida por
. O que se pede é provar que a derivada de
em um ponto
é
Informações relevantes: a definição de
(potência inteira) e que a derivada será obtida a partir do limite do quociente incremental.
Passo 2
Lembrete (definição de derivada). A derivada de uma função
em um ponto
é, por definição,
desde que esse limite exista. Vou aplicar essa definição a
.
Passo 3
Caso separado:
. Quando
tem-se
para todo
, ou seja,
é a função constante igual a
. A derivada de uma constante é
, pois
para todo
, e o limite quando
é
. Portanto, para
vale
(Isto é coerente: a fórmula
quando
daria
, expressão que convém interpretar separadamente; por isso tratamos
à parte.)
Passo 4
Fórmula básica que usarei: o Teorema do Binômio de Newton para expoente inteiro não-negativo. Para
e quaisquer números reais
e
,
onde
é o coeficiente binomial (constante que não depende de
). Exemplo simples para fixar a ideia:
.
Passo 5
Aplicar o binômio ao quociente incremental. Para
,
Ao subtrair
cancela o termo
, ficando
Separe o primeiro termo da soma (
) das somas restantes:
Como
, isso é
Passo 6
Agora tome o limite quando
. Cada soma no segundo termo contém uma potência de
com expoente pelo menos
(pois
para
). Os coeficientes
são constantes em relação a
. Portanto, para cada
,
Pelo teorema da passagem do limite soma a soma dos limites (soma finita), obtemos
Assim, usando a expressão do Passo 5,
Isso vale para todo
e todo
.
Passo 7
Resumo e observações finais. Juntando os dois casos:
- Para
tem-se . - Para
tem-se .
A demonstração foi feita diretamente pela definição de derivada e pela expansão binomial, e não usa regras de derivação prévias além da definição e das propriedades básicas de limites.