Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que
. As informações que já conhecemos e que vamos usar são:
-
é a unidade imaginária, com . - A fórmula de Euler:
para . - A definição de potência complexa via exponencial complexa: para
e definimos , onde é o logaritmo complexo (possivelmente multivalorado).
Vou usar essas informações para transformarnuma forma em que dê para ver se é real.
Passo 2
Explicar o que é
(logaritmo complexo) e por que ele é multivalorado.
- Para
escrevemos em forma polar: , onde é o módulo e é o argumento (ângulo). - O logaritmo complexo é
ou seja, o argumento pode ser acrescido de
, gerando ramos distintos do logaritmo.
Aqui é o logaritmo real do módulo, e
é qualquer escolha do ângulo principal (por exemplo em
), mas os
aparecem sempre.
Aqui
Passo 3
Aplicar isso ao caso
.
- O módulo de
é . Logo . - O argumento de
(um número no eixo imaginário positivo) é (mais todos os ).
Portanto, pegando a expressão do logaritmo complexo,
Passo 4
Calcular
usando a definição
.
- Substituindo na expressão,
- Como
, obtemos
- Cada valor encontrado é um número real positivo (pois a exponencial de um real é real e positiva). Portanto todos os ramos de
são reais.
Passo 5
Interpretar o resultado e destacar o valor principal.
- Assim, a família completa de valores de
é
todos números reais positivos.
- O valor principal (usando o argumento principal
, isto é ) é
Passo 6
Comentário didático rápido para fixar a ideia.
- Em palavras: escrevemos
como com . Então , que é real. - Exemplo parecido: para qualquer real
, é real e positivo (isso mostra por que não é tão estranho que uma potência com base imaginária e expoente imaginário dê um real).
Resposta
Valor principal: