Mostre que i^{i} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que i^{i}\in\mathbb{R}. As informações que já conhecemos e que vamos usar são:
  • i é a unidade imaginária, com i^{2}=-1.
  • A fórmula de Euler: \displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta para \theta\in\mathbb{R}.
  • A definição de potência complexa via exponencial complexa: para z\neq0 e w\in\mathbb{C} definimos z^{w}=e^{w\Log z}, onde \Log z é o logaritmo complexo (possivelmente multivalorado).
    Vou usar essas informações para transformar i^{i} numa forma em que dê para ver se é real.

Passo 2

Explicar o que é \Log z (logaritmo complexo) e por que ele é multivalorado.
  • Para z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} escrevemos z em forma polar: z=|z|e^{i\arg z}, onde |z| é o módulo e \arg z é o argumento (ângulo).
  • O logaritmo complexo é
\Log z=\ln|z|+i(\arg z+2\pi k),\qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja, o argumento pode ser acrescido de 2\pi k, gerando ramos distintos do logaritmo.
Aqui \ln|z| é o logaritmo real do módulo, e \arg z é qualquer escolha do ângulo principal (por exemplo em (-\pi,\pi] ), mas os 2\pi k aparecem sempre.

Passo 3

Aplicar isso ao caso z=i.
  • O módulo de i é |i|=1. Logo \ln|i|=\ln 1=0.
  • O argumento de i (um número no eixo imaginário positivo) é \arg i=\tfrac{\pi}{2} (mais todos os 2\pi k).
    Portanto, pegando a expressão do logaritmo complexo,
\Log i = 0 + i\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Bigr)=i\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Calcular i^{i} usando a definição i^{i}=e^{\,i\Log i}.
  • Substituindo \Log i na expressão,
i^{i}=e^{\,i\Log i}=e^{\,i\cdot i\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)}.
  • Como i\cdot i=i^{2}=-1, obtemos
i^{i}=e^{-\,\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)}=e^{-\tfrac{\pi}{2}-2\pi k},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Cada valor encontrado é um número real positivo (pois a exponencial de um real é real e positiva). Portanto todos os ramos de i^{i} são reais.

Passo 5

Interpretar o resultado e destacar o valor principal.
  • Assim, a família completa de valores de i^{i} é
\left\{e^{-\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)}:\;k\in\mathbb{Z}\right\},
todos números reais positivos.
  • O valor principal (usando o argumento principal \tfrac{\pi}{2}, isto é k=0) é
i^{i}=e^{-\tfrac{\pi}{2}}\approx0,207879576\ldots

Passo 6

Comentário didático rápido para fixar a ideia.
  • Em palavras: escrevemos i como e^{i\theta} com \theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k. Então i^{i}=(e^{i\theta})^{i}=e^{i\cdot i\theta}=e^{-\theta}, que é real.
  • Exemplo parecido: para qualquer real \theta, (e^{i\theta})^{i}=e^{-\theta} é real e positivo (isso mostra por que não é tão estranho que uma potência com base imaginária e expoente imaginário dê um real).

Resposta

\displaystyle i^{i}=e^{-\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)},\;k\in\mathbb{Z} (todos reais positivos).
Valor principal: \displaystyle i^{i}=e^{-\tfrac{\pi}{2}}.

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