O que o enunciado pede: minimizar f(x_1,x_2)=x_1 x_2 sujeito à restrição x_1^{2}+x_2^{2}\leq25.
Informações dadas e objetivo claro:
Região viável: o disco fechado \{(x_1,x_2)\mid x_1^{2}+x_2^{2}\leq25\}, raio 5.
Função objetivo: f(x_1,x_2)=x_1 x_2.
Pergunta a responder: qual é o valor mínimo de f sobre essa região e em quais pontos ele é atingido?
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada passo a passo e de forma didática):
Teorema útil: como a região viável é fechada e limitada e f é contínua, f atinge máximo e mínimo no disco (teorema de Weierstrass).
Portanto devemos checar: (i) pontos críticos no interior do disco (onde o gradiente de f é zero) e (ii) pontos na fronteira do disco x_1^{2}+x_2^{2}=25.
Para o interior: calculamos o gradiente \nabla f e igualamos a zero. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; igualar a zero busca pontos estacionários.
Para a fronteira: usamos multiplicadores de Lagrange. Ideia dos multiplicadores: na fronteira, extremos acontecem quando o gradiente da função objetivo é paralelo ao gradiente da restrição; formalmente existe \lambda tal que \nabla f = \lambda \nabla g, com g(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}-25.
Passo 3
Pontos críticos no interior do disco:
Calculamos o gradiente: \nabla f=(\partial f/\partial x_1,\partial f/\partial x_2)=(x_2,x_1)\).
- Igualando a zero obtemos o sistema \(\begin{cases}x_2=0\\\ x_1=0\end{cases}, logo o único ponto crítico é (0,0).
Esse ponto está no interior da região porque 0^{2}+0^{2}=0\leq25.
Valor da função no ponto: f(0,0)=0.
Classificação rápida: a Hessiana de f é \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix} com autovalores 1 e -1, portanto (0,0) é um ponto de sela (não é mínimo nem máximo global).]
Passo 4
Extremos na fronteira via multiplicadores de Lagrange:
Definimos g(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}-25 e a lagrangiana
Se multiplicarmos as duas equações: x_1 x_2 = 4\lambda^{2} x_1 x_2. Se x_1 x_2\neq0 podemos cancelar e obter 1=4\lambda^{2}, logo \lambda=\pm\frac{1}{2}. (Se x_1 x_2=0 e estamos na fronteira, então um dos x_i é zero e o outro tem quadrado 25; veremos esse caso abaixo.)
Caso \lambda=\tfrac{1}{2}: então x_2=2\cdot\tfrac{1}{2}x_1=x_1. Substituindo na restrição:
Caso especial mencionado: se um coordenado for zero na fronteira, por exemplo x_1=0, então x_2^{2}=25 e f(0,\pm5)=0. Esses valores valem 0, já cobertos (não extremos globais menores que -12,5).
Passo 6
Comparação e conclusão:
Pontos encontrados e respectivos valores:
(0,0): f=0 (ponto de sela).
Fronteira com x_1=x_2=\pm\frac{5}{\sqrt{2}}: f=12,5 (máximo global).
Fronteira com x_1=-x_2=\pm\frac{5}{\sqrt{2}}: f=-12,5 (mínimo global).
Portanto o menor valor de f na região viável é -12,5, atingido nos dois pontos em que as coordenadas têm sinais opostos e módulo \frac{5}{\sqrt{2}}.
Resposta
Mínimo global: -12,5, atingido em \left(\dfrac{5}{\sqrt{2}},-\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\dfrac{5}{\sqrt{2}},\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right).