Exercício 3

\begin{aligned} & \min : f(x 1, x 2)=x 1 * x 2 \\\ & \text { Sujeito a: } x 1^{2}+x 2^{2} \leq 25 \end{aligned}
Resposta
U x_{1} x_{2} Point C f(\mathbf{x}) Remarks
0 0 0 A 25 0 saddle
0.5 \left\{\begin{array}{l}+3.54 \\\\ -3.54\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}-3.54 \\\\ +3.54\end{array}\right. B 0 -12.5 minimum minimum
-0.5 \left\{\begin{array}{l}+3.54 \\\\ -3.54\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}+3.54 \\\\ -3.54\end{array}\right. maximum

Passo 1

O que o enunciado pede: minimizar f(x_1,x_2)=x_1 x_2 sujeito à restrição x_1^{2}+x_2^{2}\leq25.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Região viável: o disco fechado \{(x_1,x_2)\mid x_1^{2}+x_2^{2}\leq25\}, raio 5.
  • Função objetivo: f(x_1,x_2)=x_1 x_2.
    Pergunta a responder: qual é o valor mínimo de f sobre essa região e em quais pontos ele é atingido?

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada passo a passo e de forma didática):
  • Teorema útil: como a região viável é fechada e limitada e f é contínua, f atinge máximo e mínimo no disco (teorema de Weierstrass).
  • Portanto devemos checar: (i) pontos críticos no interior do disco (onde o gradiente de f é zero) e (ii) pontos na fronteira do disco x_1^{2}+x_2^{2}=25.
  • Para o interior: calculamos o gradiente \nabla f e igualamos a zero. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; igualar a zero busca pontos estacionários.
  • Para a fronteira: usamos multiplicadores de Lagrange. Ideia dos multiplicadores: na fronteira, extremos acontecem quando o gradiente da função objetivo é paralelo ao gradiente da restrição; formalmente existe \lambda tal que \nabla f = \lambda \nabla g, com g(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}-25.

Passo 3

Pontos críticos no interior do disco:
  • Calculamos o gradiente: \nabla f=(\partial f/\partial x_1,\partial f/\partial x_2)=(x_2,x_1)\). - Igualando a zero obtemos o sistema \(\begin{cases}x_2=0\\\ x_1=0\end{cases}, logo o único ponto crítico é (0,0).
  • Esse ponto está no interior da região porque 0^{2}+0^{2}=0\leq25.
  • Valor da função no ponto: f(0,0)=0.
  • Classificação rápida: a Hessiana de f é \begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix} com autovalores 1 e -1, portanto (0,0) é um ponto de sela (não é mínimo nem máximo global).]

Passo 4

Extremos na fronteira via multiplicadores de Lagrange:
  • Definimos g(x_1,x_2)=x_1^{2}+x_2^{2}-25 e a lagrangiana
L(x_1,x_2,\lambda)=x_1 x_2-\lambda\bigl(x_1^{2}+x_2^{2}-25\bigr).
  • Condições de otimização (estacionaridade + restrição):
\frac{\partial L}{\partial x_1}=x_2-2\lambda x_1=0,
\frac{\partial L}{\partial x_2}=x_1-2\lambda x_2=0,
x_1^{2}+x_2^{2}=25.

Passo 5

Resolvendo o sistema das condições de Lagrange:
  • Das duas primeiras igualdades temos
x_2=2\lambda x_1\quad\text{e}\quad x_1=2\lambda x_2.
  • Se multiplicarmos as duas equações: x_1 x_2 = 4\lambda^{2} x_1 x_2. Se x_1 x_2\neq0 podemos cancelar e obter 1=4\lambda^{2}, logo \lambda=\pm\frac{1}{2}. (Se x_1 x_2=0 e estamos na fronteira, então um dos x_i é zero e o outro tem quadrado 25; veremos esse caso abaixo.)
  • Caso \lambda=\tfrac{1}{2}: então x_2=2\cdot\tfrac{1}{2}x_1=x_1. Substituindo na restrição:
x_1^{2}+x_1^{2}=25\implies 2x_1^{2}=25\implies x_1^{2}=12,5.
Logo x_1=\pm\sqrt{12,5}=\pm\frac{5}{\sqrt{2}}=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2} e x_2=x_1. Os pontos são
\left(\frac{5}{\sqrt{2}},\frac{5}{\sqrt{2}}\right),\quad\left(-\frac{5}{\sqrt{2}},-\frac{5}{\sqrt{2}}\right).
Valor da função nestes pontos:
f=\;x_1 x_2 = x_1^{2}=12,5.
  • Caso \lambda=-\tfrac{1}{2}: então x_2=2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)x_1=-x_1. Pela restrição obtemos novamente 2x_1^{2}=25 e
\left(\frac{5}{\sqrt{2}},-\frac{5}{\sqrt{2}}\right),\quad\left(-\frac{5}{\sqrt{2}},\frac{5}{\sqrt{2}}\right).
Valor da função nesses pontos:
f=x_1 x_2 = -x_1^{2}=-12,5.
  • Caso especial mencionado: se um coordenado for zero na fronteira, por exemplo x_1=0, então x_2^{2}=25 e f(0,\pm5)=0. Esses valores valem 0, já cobertos (não extremos globais menores que -12,5).

Passo 6

Comparação e conclusão:
  • Pontos encontrados e respectivos valores:
    • (0,0): f=0 (ponto de sela).
    • Fronteira com x_1=x_2=\pm\frac{5}{\sqrt{2}}: f=12,5 (máximo global).
    • Fronteira com x_1=-x_2=\pm\frac{5}{\sqrt{2}}: f=-12,5 (mínimo global).
  • Portanto o menor valor de f na região viável é -12,5, atingido nos dois pontos em que as coordenadas têm sinais opostos e módulo \frac{5}{\sqrt{2}}.

Resposta

Mínimo global: -12,5, atingido em \left(\dfrac{5}{\sqrt{2}},-\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\dfrac{5}{\sqrt{2}},\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right).

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