Para cada y fixo, os limites em x são \;0\le x\le \sqrt{4-y^{2}}.
Para cada (x,y) fixo, os limites em z são \;0\le z\le 4.
Observação geométrica (tirada dos limites em x e y): a projeção de E no plano xy é a região D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le 4\}, ou seja, um quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante.
Passo 2
Escolha do método e justificativa: como os limites em z são constantes (0 a 4), é natural integrar primeiro em z — isso simplifica bastante porque x e y são tratados como constantes na integral em z. Usamos a versão de Fubini para integrais múltiplas: se a função é contínua em E, a integral tripla pode ser avaliada como uma integral iterada, por exemplo
Aqui a função integranda 2x é contínua em E, então podemos trocar a ordem indicada. (Comentário rápido: também seria possível usar coordenadas polares para a parte em x,y, mas a integração em z primeiro já simplifica muito e usa técnicas básicas.)
Passo 3
Integração em z: na integral interna \int_{0}^{4} 2x\,dz a variável x é constante porque estamos integrando em z. Pela regra da integral de uma constante multiplicada por uma variável de integração,
Explicando a ideia: integrar em z significa somar fatias de espessura dz; 2x não depende de z, então aparece multiplicando o comprimento do intervalo em z, que é 4.
Passo 4
Redução para uma integral dupla em x,y: substituindo o resultado anterior obtemos