Calcule a integral tripla:
\iiint_{E} 2 x d Vem que E=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}}, 0 \leq z \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{E} 2x\,dV
onde a região E é dada por
E=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le 2,\;0\le x\le \sqrt{4-y^{2}},\;0\le z\le 4\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os limites em y são \;0\le y\le 2.
  • Para cada y fixo, os limites em x são \;0\le x\le \sqrt{4-y^{2}}.
  • Para cada (x,y) fixo, os limites em z são \;0\le z\le 4.
  • Observação geométrica (tirada dos limites em x e y): a projeção de E no plano xy é a região D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le 4\}, ou seja, um quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante.

Passo 2

Escolha do método e justificativa: como os limites em z são constantes ( 0 a 4), é natural integrar primeiro em z — isso simplifica bastante porque x e y são tratados como constantes na integral em z. Usamos a versão de Fubini para integrais múltiplas: se a função é contínua em E, a integral tripla pode ser avaliada como uma integral iterada, por exemplo
\iiint_{E} 2x\,dV = \int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\int_{z=0}^{4} 2x\,dz\,dx\,dy.
Aqui a função integranda 2x é contínua em E, então podemos trocar a ordem indicada. (Comentário rápido: também seria possível usar coordenadas polares para a parte em x,y, mas a integração em z primeiro já simplifica muito e usa técnicas básicas.)

Passo 3

Integração em z: na integral interna \int_{0}^{4} 2x\,dz a variável x é constante porque estamos integrando em z. Pela regra da integral de uma constante multiplicada por uma variável de integração,
\int_{0}^{4} 2x\,dz = 2x\int_{0}^{4} dz = 2x\cdot(4-0) = 8x.
Explicando a ideia: integrar em z significa somar fatias de espessura dz; 2x não depende de z, então aparece multiplicando o comprimento do intervalo em z, que é 4.

Passo 4

Redução para uma integral dupla em x,y: substituindo o resultado anterior obtemos
\iiint_{E} 2x\,dV = \int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y^{2}}} 8x\,dx\,dy.
Podemos tirar o fator 8 fora da integral:
= 8\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y^{2}}} x\,dx\,dy.

Passo 5

Integração em x: usamos a regra da potência para integrais, que diz que \int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}. Então
\int_{x=0}^{\sqrt{4-y^{2}}} x\,dx = \left.\tfrac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} = \tfrac{1}{2}\big(\sqrt{4-y^{2}}\big)^{2} - 0 = \tfrac{1}{2}(4-y^{2}).
Substituindo na integral dupla:
\iiint_{E} 2x\,dV = 8\int_{0}^{2} \tfrac{1}{2}(4-y^{2})\,dy = 4\int_{0}^{2} (4-y^{2})\,dy.

Passo 6

Integração em y e cálculo final: separamos a integral
\int_{0}^{2} (4-y^{2})\,dy = \int_{0}^{2} 4\,dy - \int_{0}^{2} y^{2}\,dy.
Usando \int 4\,dy = 4y e a regra da potência \int y^{2}\,dy = \tfrac{1}{3}y^{3}, temos
\int_{0}^{2} 4\,dy = 4\cdot 2 = 8,
\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \left.\tfrac{1}{3}y^{3}\right|_{0}^{2} = \tfrac{1}{3}\cdot 8 = \tfrac{8}{3}.
Assim
\int_{0}^{2} (4-y^{2})\,dy = 8 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{24-8}{3} = \tfrac{16}{3}.
Multiplicando pelo fator 4 que estava fora:
\iiint_{E} 2x\,dV = 4\cdot \tfrac{16}{3} = \tfrac{64}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{64}{3}

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