Determine o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b} e verifique que ele é ortogonal a a e b. \quad \mathbf{a}=\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=\frac{1}{2} \mathbf{i}+\mathbf{j}+\frac{1}{2} \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} e (2) verificar que esse vetor é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
As informações dadas são os vetores
(Se quiser deixar mais elegante: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\tfrac{1}{2}\bigl(1,-2,3\bigr)=\tfrac{1}{2}\mathbf{i}-\mathbf{j}+\tfrac{3}{2}\mathbf{k}.)
Passo 5
Para verificar ortogonalidade uso o produto escalar: dois vetores são ortogonais se e somente se seu produto escalar for zero. Se \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3.
Vou calcular \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) e \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}); cada um deve dar 0 se \mathbf{a}\times\mathbf{b} for ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
Passo 6
Calculo \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Usando \mathbf{a}=(1,-1,-1) e \mathbf{a}\times\mathbf{b}=(\tfrac{1}{2},-1,\tfrac{3}{2}),
Conclusão: o produto vetorial que calculei está correto e os dois produtos escalares com \mathbf{a} e \mathbf{b} dão zero, portanto \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Dá para guardar o truque: sempre que alguém pedir para checar ortogonalidade do cross product, calcule dois pontos simples de produto escalar e confirme que são zero — é a verificação padrão.