Determine o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b} e verifique que ele é ortogonal a a e b.
\quad \mathbf{a}=\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=\frac{1}{2} \mathbf{i}+\mathbf{j}+\frac{1}{2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} e (2) verificar que esse vetor é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
As informações dadas são os vetores
\mathbf{a}=\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k},\qquad \mathbf{b}=\tfrac{1}{2}\mathbf{i}+\mathbf{j}+\tfrac{1}{2}\mathbf{k}.

Passo 2

Vou usar a definição prática do produto vetorial entre dois vetores em \mathbb{R}^3. Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Explicação rápida dessa fórmula: é a forma coordenada do determinante
\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix},
que gera as três componentes conforme mostrado acima. Cada componente é uma combinação dos produtos das componentes dos vetores.

Passo 3

Extraio as componentes dos vetores dados (peguei isso do enunciado):
\mathbf{a}=(1,-1,-1),\qquad \mathbf{b}=\Bigl(\tfrac{1}{2},1,\tfrac{1}{2}\Bigr).

Passo 4

Calculo cada componente do produto vetorial usando a fórmula do Passo 2.
Primeira componente:
a_2b_3-a_3b_2 = (-1)\cdot\tfrac{1}{2} - (-1)\cdot 1 = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2}.
Segunda componente:
a_3b_1-a_1b_3 = (-1)\cdot\tfrac{1}{2} - 1\cdot\tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = -1.
Terceira componente:
a_1b_2-a_2b_1 = 1\cdot 1 - (-1)\cdot\tfrac{1}{2} = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
Portanto
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Bigl(\tfrac{1}{2},-1,\tfrac{3}{2}\Bigr).
(Se quiser deixar mais elegante: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\tfrac{1}{2}\bigl(1,-2,3\bigr)=\tfrac{1}{2}\mathbf{i}-\mathbf{j}+\tfrac{3}{2}\mathbf{k}.)

Passo 5

Para verificar ortogonalidade uso o produto escalar: dois vetores são ortogonais se e somente se seu produto escalar for zero. Se \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3.
Vou calcular \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) e \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}); cada um deve dar 0 se \mathbf{a}\times\mathbf{b} for ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.

Passo 6

Calculo \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Usando \mathbf{a}=(1,-1,-1) e \mathbf{a}\times\mathbf{b}=(\tfrac{1}{2},-1,\tfrac{3}{2}),
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =1\cdot\tfrac{1}{2}+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot\tfrac{3}{2} =\tfrac{1}{2}+1-\tfrac{3}{2}=0.
Mostrei cada soma para ficar claro como deu zero.

Passo 7

Calculo \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Usando \mathbf{b}=(\tfrac{1}{2},1,\tfrac{1}{2}),
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+1\cdot(-1)+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2} =\tfrac{1}{4}-1+\tfrac{3}{4}=0.

Passo 8

Conclusão: o produto vetorial que calculei está correto e os dois produtos escalares com \mathbf{a} e \mathbf{b} dão zero, portanto \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Dá para guardar o truque: sempre que alguém pedir para checar ortogonalidade do cross product, calcule dois pontos simples de produto escalar e confirme que são zero — é a verificação padrão.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\tfrac{1}{2}\mathbf{i}-\mathbf{j}+\tfrac{3}{2}\mathbf{k}=\Bigl(\tfrac{1}{2},-1,\tfrac{3}{2}\Bigr)\n \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0,\quad \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0

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