Exercício 7. Para cada função
a seguir, conclua que não existe
, utilizando os caminhos de aproximação da origem propostos:
, ao longo do eixo
e da reta
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para concluir que não existe
, usando os caminhos de aproximação:
- o eixo
(ou seja, ); - a reta
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida por uma razão com
multiplicando uma fração racional em . - Os caminhos indicados são simples:
e . - O objetivo é comparar os limites de
quando se aproxima de por esses dois caminhos.
Passo 2
Ideia e justificativa do método (explicação didática):
- Em várias variáveis, a definição de limite exige que o valor da função se aproxime do mesmo número para qualquer maneira de chegar ao ponto. Logo, se existirem dois caminhos que levem a valores limites diferentes, isso já mostra que o limite total não existe.
- Portanto aqui vamos calcular
(aproximação pelo eixo ) e (aproximação pela reta ). Se esses dois limites forem diferentes, concluímos que não existe. - Observação útil:
é uma função contínua em , logo . Isso facilita os cálculos.
Passo 3
Limite ao longo do eixo
(
):
- Substituir
em : - Simplificando a fração:
- Portanto o valor da função ao longo do eixo
é exatamente para todo (e também no ponto a expressão continua sendo zero pela substituição direta). Assim
Passo 4
Limite ao longo da reta
:
- Substituir
em : - Simplificar a fração no coeficiente:
- Para
pode-se cancelar : - Agora tomar o limite quando
. Usando a continuidade de :
Passo 5
Comparação e conclusão final:
- Pelo Passo 3, o limite ao longo do eixo
é . - Pelo Passo 4, o limite ao longo da reta
é . - Esses dois valores são diferentes, portanto os limites por caminhos distintos não coincidem.
- Conclusão: o limite total em duas variáveis não pode existir quando há dois caminhos dando resultados distintos. Logo
não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois
e
.