Exercício 7. Para cada função f a seguir, conclua que não existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), utilizando os caminhos de aproximação da origem propostos:
f(x, y)=\frac{x y}{3 x^{2}+y^{2}} \cos (y), ao longo do eixo x e da reta y=x.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x y}{3 x^{2}+y^{2}}\cos(y)
e pede para concluir que não existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y), usando os caminhos de aproximação:
  • o eixo x (ou seja, y=0);
  • a reta y=x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida por uma razão com \cos(y) multiplicando uma fração racional em x,y.
  • Os caminhos indicados são simples: y=0 e y=x.
  • O objetivo é comparar os limites de f quando (x,y) se aproxima de (0,0) por esses dois caminhos.

Passo 2

Ideia e justificativa do método (explicação didática):
  • Em várias variáveis, a definição de limite exige que o valor da função se aproxime do mesmo número para qualquer maneira de chegar ao ponto. Logo, se existirem dois caminhos que levem a valores limites diferentes, isso já mostra que o limite total não existe.
  • Portanto aqui vamos calcular \lim_{x\to 0} f(x,0)(aproximação pelo eixo x) e \lim_{x\to 0} f(x,x)(aproximação pela reta y=x). Se esses dois limites forem diferentes, concluímos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)não existe.
  • Observação útil: \cos(y) é uma função contínua em y, logo \lim_{y\to 0}\cos(y)=\cos(0)=1. Isso facilita os cálculos.

Passo 3

Limite ao longo do eixo x ( y=0):
  • Substituir y=0 em f: f(x,0)=\frac{x\cdot 0}{3x^{2}+0^{2}}\cos(0).
  • Simplificando a fração: f(x,0)=\frac{0}{3x^{2}}\cos(0)=0\cdot\cos(0)=0.
  • Portanto o valor da função ao longo do eixo x é exatamente 0 para todo x\neq 0 (e também no ponto x=0 a expressão continua sendo zero pela substituição direta). Assim \lim_{x\to 0} f(x,0)=0.

Passo 4

Limite ao longo da reta y=x:
  • Substituir y=x em f: f(x,x)=\frac{x\cdot x}{3x^{2}+x^{2}}\cos(x).
  • Simplificar a fração no coeficiente: f(x,x)=\frac{x^{2}}{4x^{2}}\cos(x).
  • Para x\neq 0 pode-se cancelar x^{2}: f(x,x)=\frac{1}{4}\cos(x).
  • Agora tomar o limite quando x\to 0. Usando a continuidade de \cos: \lim_{x\to 0} f(x,x)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{4}\cos(x)=\frac{1}{4}\cos(0)=\frac{1}{4}.

Passo 5

Comparação e conclusão final:
  • Pelo Passo 3, o limite ao longo do eixo x é 0.
  • Pelo Passo 4, o limite ao longo da reta y=x é \tfrac{1}{4}.
  • Esses dois valores são diferentes, portanto os limites por caminhos distintos não coincidem.
  • Conclusão: o limite total em duas variáveis não pode existir quando há dois caminhos dando resultados distintos. Logo \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)não existe.

Resposta

O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, pois \lim_{x\to 0} f(x,0)=0 e \lim_{x\to 0} f(x,x)=\tfrac{1}{4}.

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