Exercício 4. Para cada função f a seguir, determine e esboce a curva de nível passando pelo ponto P dado:
f(x, y)=16-x^{2}-y^{2} e P=(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A função f é \,f(x,y)=16-x^{2}-y^{2}.
  • O ponto pedido é P=\bigl(2\sqrt{2},\,2\sqrt{2}\bigr).
O que se pede:
  • Determinar a curva de nível de f que passa por P (ou seja, achar a equação do conjunto de pontos (x,y) onde f(x,y) tem o mesmo valor que em P).
  • Esboçar essa curva (ou explicar como desenhá‑la).

Passo 2

Conceito importante (passo a passo didático): uma curva de nível para uma função de duas variáveis f(x,y) com valor c é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
Para achar a curva de nível que passa por P devemos:
  1. Calcular c=f(P).
  2. Resolver a equação f(x,y)=c para obter a equação da curva (em forma explícita, se possível).

Passo 3

Calcular c=f(P). Primeiro vamos calcular x^{2} e y^{2} no ponto P:
(2\sqrt{2})^{2}=4\cdot 2=8.
Portanto x^{2}=8 e y^{2}=8 em P. Agora
f(P)=16-x^{2}-y^{2}=16-8-8=0.
Logo o nível que interessa tem valor c=0.

Passo 4

Escrever a equação da curva de nível substituindo c=0 em f(x,y)=c:
16-x^{2}-y^{2}=0.
Reorganizando,
x^{2}+y^{2}=16.

Passo 5

Interpretando geometricamente: a equação \,x^{2}+y^{2}=16\, é a equação padrão de um círculo com centro em (0,0) e raio
r=\sqrt{16}=4.
Explicando curtinho: para qualquer equação da forma x^{2}+y^{2}=R^{2} o centro é (0,0) e o raio é R. Aqui R^{2}=16, então R=4.

Passo 6

Verificação de que P realmente está nessa curva: a norma do vetor posição de P é
\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4,
portanto P está sobre o círculo de raio 4. Outra forma: usar parametrização do círculo
(x,y)=(4\cos t,\,4\sin t).
Para t=\pi/4 tem-se \cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
(4\cos(\pi/4),\,4\sin(\pi/4))=\bigl(4\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,4\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=(2\sqrt{2},\,2\sqrt{2})=P.

Passo 7

Como esboçar (passo a passo para fazer na prova sem régua complexa):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem O=(0,0).
  2. Marque a unidade de comprimento (por exemplo cada quadradinho = 1).
  3. Marque o ponto x=4 no eixo x e y=4 no eixo y.
  4. Com centro em O e distância 4 desenhe um círculo (ou trace pontos com coordenadas (4,0),(0,4),(-4,0),(0,-4) e ligue suavemente).
  5. Localize P no primeiro quadrante a 45^\circ (ou t=\pi/4) a distância 4 da origem; P fica exatamente sobre o círculo. Identifique e rotule P.
Dica para visual: P está na direção x=y>0 (linha no ângulo de 45^\circ) a uma distância 4 do centro.

Passo 8

Observação adicional útil para a prova: de maneira geral os níveis de f(x,y)=16-x^{2}-y^{2} são círculos dados por
x^{2}+y^{2}=16-c,
onde c é o valor do nível. Há pontos reais apenas se 16-c\ge 0. Para c<16 obtém‑se círculos de raio \sqrt{16-c}; para c=16 o nível é apenas o ponto (0,0); para c>16 não há pontos reais.

Resposta

x^{2}+y^{2}=16
Círculo centrado em (0,0) com raio 4.

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