Exercício 4. Para cada função
a seguir, determine e esboce a curva de nível passando pelo ponto
dado:
e
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A função
é . - O ponto pedido é
.
O que se pede:
- Determinar a curva de nível de
que passa por (ou seja, achar a equação do conjunto de pontos onde tem o mesmo valor que em ). - Esboçar essa curva (ou explicar como desenhá‑la).
Passo 2
Conceito importante (passo a passo didático): uma curva de nível para uma função de duas variáveis
com valor
é o conjunto
Para achar a curva de nível que passa por
devemos:
- Calcular
. - Resolver a equação
para obter a equação da curva (em forma explícita, se possível).
Passo 3
Calcular
. Primeiro vamos calcular
e
no ponto
:
Portanto
e
em
. Agora
Logo o nível que interessa tem valor
.
Passo 4
Escrever a equação da curva de nível substituindo
em
:
Reorganizando,
Passo 5
Interpretando geometricamente: a equação
é a equação padrão de um círculo com centro em
e raio
Explicando curtinho: para qualquer equação da forma
o centro é
e o raio é
. Aqui
, então
.
Passo 6
Verificação de que
realmente está nessa curva: a norma do vetor posição de
é
portanto
está sobre o círculo de raio
. Outra forma: usar parametrização do círculo
Para
tem-se
, então
Passo 7
Como esboçar (passo a passo para fazer na prova sem régua complexa):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem . - Marque a unidade de comprimento (por exemplo cada quadradinho = 1).
- Marque o ponto
no eixo e no eixo . - Com centro em
e distância desenhe um círculo (ou trace pontos com coordenadas e ligue suavemente). - Localize
no primeiro quadrante a (ou ) a distância da origem; fica exatamente sobre o círculo. Identifique e rotule .
Dica para visual:
está na direção
(linha no ângulo de
) a uma distância 4 do centro.
Passo 8
Observação adicional útil para a prova: de maneira geral os níveis de
são círculos dados por
onde
é o valor do nível. Há pontos reais apenas se
. Para
obtém‑se círculos de raio
; para
o nível é apenas o ponto
; para
não há pontos reais.
Resposta
Círculo centrado em
com raio
.