Exercício 7. Para cada função f a seguir, conclua que não existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y), utilizando os caminhos de aproximação da origem propostos:
f(x, y)=\frac{x^{2}-y}{x-y}, ao longo dos eixos x e y.

Passo 1

O enunciado pede para concluir que não existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) usando as aproximações ao longo dos eixos x e y.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}-y}{x-y}.
  • Os caminhos a usar são:
    • eixo x: y=0, com x\to0;
    • eixo y: x=0, com y\to0.
  • Observação importante sobre o domínio: o denominador x-y anula quando x=y, portanto f não está definida na reta x=y; em particular f não está definida em (0,0). Mesmo assim é legítimo falar do limite (x,y)\to(0,0) examinando pontos diferentes de (0,0).

Passo 2

Explicar a ideia usada: para limites em múltiplas variáveis, uma maneira comum de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos (ou sequências) que tendem à origem e que produzem limites diferentes para f. Se existisse um limite comum L quando (x,y)\to(0,0), então qualquer caminho que aproxime a origem teria que dar o mesmo valor L. Assim, dois limites distintos contradizem a existência do limite.

Passo 3

Aproximação ao longo do eixo x (ou seja, y=0, x\to0):
Calcular f(x,0) para x\neq0:
f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x-0}=\frac{x^{2}}{x}=x.
Aqui foi usado cancelamento de um fator x; isto é válido pois, ao aproximar a origem ao longo do eixo x, consideramos pontos com x\neq0 (o ponto x=0 é exatamente a origem onde a função não está definida).
Agora o limite unidimensional:
\lim_{x\to0} f(x,0)=\lim_{x\to0} x = 0.

Passo 4

Aproximação ao longo do eixo y (ou seja, x=0, y\to0):
Calcular f(0,y) para y\neq0:
f(0,y)=\frac{0^{2}-y}{0-y}=\frac{-y}{-y}=1.
Aqui também evitamos o ponto y=0 (origem) porque o denominador seria zero; para qualquer y\neq0 o valor é exatamente 1.
Portanto
\lim_{y\to0} f(0,y)=1.

Passo 5

Comparando os dois limites obtidos pelos caminhos:
  • pela reta y=0 o limite é 0,
  • pela reta x=0 o limite é 1.
Como esses valores são diferentes, não pode existir um único valor limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-y}{x-y} não existe (limite por y=0 é 0; por x=0 é 1).

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