Exercício 7. Para cada função
a seguir, conclua que não existe
, utilizando os caminhos de aproximação da origem propostos:
, ao longo dos eixos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para concluir que não existe
usando as aproximações ao longo dos eixos
e
.
Informações dadas:
- A função é
. - Os caminhos a usar são:
- eixo
: , com ; - eixo
: , com .
- eixo
- Observação importante sobre o domínio: o denominador
anula quando , portanto não está definida na reta ; em particular não está definida em . Mesmo assim é legítimo falar do limite examinando pontos diferentes de .
Passo 2
Explicar a ideia usada: para limites em múltiplas variáveis, uma maneira comum de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos (ou sequências) que tendem à origem e que produzem limites diferentes para
. Se existisse um limite comum
quando
, então qualquer caminho que aproxime a origem teria que dar o mesmo valor
. Assim, dois limites distintos contradizem a existência do limite.
Passo 3
Aproximação ao longo do eixo
(ou seja,
,
):
Calcular
para
:
Aqui foi usado cancelamento de um fator
; isto é válido pois, ao aproximar a origem ao longo do eixo
, consideramos pontos com
(o ponto
é exatamente a origem onde a função não está definida).
Agora o limite unidimensional:
Passo 4
Aproximação ao longo do eixo
(ou seja,
,
):
Calcular
para
:
Aqui também evitamos o ponto
(origem) porque o denominador seria zero; para qualquer
o valor é exatamente
.
Portanto
Passo 5
Comparando os dois limites obtidos pelos caminhos:
- pela reta
o limite é , - pela reta
o limite é .
Como esses valores são diferentes, não pode existir um único valor limite
. Logo, o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe (limite por
é
; por
é
).