Exercício 2. Para cada função
a seguir, determine e esboce seu domínio:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
(ou seja, o conjunto de todos os pares para os quais está bem definida como número real). - Esboçar esse domínio no plano
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função usa raízes quadradas reais
, que exigem que os radicandos sejam maiores ou iguais a zero. - Não há outras restrições além das impostas pelos radicandos.
Passo 2
Condição para cada raiz quadrada: explicar a teoria necessária.
- Para que
seja um número real, é necessário e suficiente que . - Aqui temos dois radicandos:
e . Portanto devemos ter simultaneamente
e
Vou escrever essas desigualdades de forma combinada para ficar claro.
Passo 3
Escrever as desigualdades juntas e interpretar geometricamente.
- Das duas desigualdades obtemos
- Isso significa que
deve estar entre a parábola (por baixo) e a reta (por cima). - Geometricamente, o domínio é a interseção do semiplano acima da parábola com o semiplano abaixo da reta.
Passo 4
Verificar para quais valores de
existe algum
satisfazendo
.
- Para que exista
com é necessário que
- Fatoremos:
- A solução dessa desigualdade é
- Conclusão: fora do intervalo
não há nenhum que satisfaça simultaneamente as duas desigualdades; logo o domínio está contido em .
Passo 5
Expressar o domínio de forma final e explicitar as fronteiras.
- Para cada
com , pode variar entre e , inclusive (os sinais permitem as fronteiras). - Assim o domínio é
- Alternativamente, de maneira compacta:
onde implicitamente essa condição só se realiza para
.
Passo 6
Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhe a parábola
(vértice em , abre para cima). - Desenhe a reta
(passa pela origem, inclinação ). - Marque os pontos de interseção resolvendo
, o que dá e . Assim as interseções são e . - Sombreie a região entre a parábola (embaixo) e a reta (em cima), apenas para
entre e . As bordas (parábola e reta) também fazem parte do domínio. - Exemplos de pontos no domínio para checar:
está no domínio porque . O ponto não está porque não pertence a .
Observação final: o domínio é uma região fechada e limitada (compacta), com
variando em
e
entre
e
.