Exercício 2. Para cada função f a seguir, determine e esboce seu domínio:
f(x, y)=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{3 x-y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{y-x^{2}}+\sqrt{3x-y} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f (ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais f(x,y) está bem definida como número real).
  • Esboçar esse domínio no plano (x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função usa raízes quadradas reais \sqrt{\cdot}, que exigem que os radicandos sejam maiores ou iguais a zero.
  • Não há outras restrições além das impostas pelos radicandos.

Passo 2

Condição para cada raiz quadrada: explicar a teoria necessária.
  • Para que \sqrt{A} seja um número real, é necessário e suficiente que A\ge 0.
  • Aqui temos dois radicandos: y-x^{2} e 3x-y. Portanto devemos ter simultaneamente
y-x^{2}\ge 0
e
3x-y\ge 0.
Vou escrever essas desigualdades de forma combinada para ficar claro.

Passo 3

Escrever as desigualdades juntas e interpretar geometricamente.
  • Das duas desigualdades obtemos
x^{2}\le y \le 3x.
  • Isso significa que y deve estar entre a parábola y=x^{2} (por baixo) e a reta y=3x (por cima).
  • Geometricamente, o domínio é a interseção do semiplano acima da parábola com o semiplano abaixo da reta.

Passo 4

Verificar para quais valores de x existe algum y satisfazendo x^{2}\le y\le 3x.
  • Para que exista y com x^{2}\le 3x é necessário que
x^{2}-3x\le 0.
  • Fatoremos:
x(x-3)\le 0.
  • A solução dessa desigualdade é
0\le x\le 3.
  • Conclusão: fora do intervalo [0,3] não há nenhum y que satisfaça simultaneamente as duas desigualdades; logo o domínio está contido em 0\le x\le 3.

Passo 5

Expressar o domínio de forma final e explicitar as fronteiras.
  • Para cada x com 0\le x\le 3, y pode variar entre x^{2} e 3x, inclusive (os sinais \le permitem as fronteiras).
  • Assim o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 3,\; x^{2}\le y\le 3x\}.
  • Alternativamente, de maneira compacta:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}\le y\le 3x\},
onde implicitamente essa condição só se realiza para x\in[0,3].

Passo 6

Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe a parábola y=x^{2} (vértice em (0,0), abre para cima).
  2. Desenhe a reta y=3x (passa pela origem, inclinação 3).
  3. Marque os pontos de interseção resolvendo x^{2}=3x, o que dá x=0 e x=3. Assim as interseções são (0,0) e (3,9).
  4. Sombreie a região entre a parábola (embaixo) e a reta (em cima), apenas para x entre 0 e 3. As bordas (parábola e reta) também fazem parte do domínio.
  5. Exemplos de pontos no domínio para checar: (1,2) está no domínio porque 1^{2}=1\le 2\le 3\cdot1=3. O ponto (-1,0) não está porque x=-1 não pertence a [0,3].
Observação final: o domínio é uma região fechada e limitada (compacta), com x variando em [0,3] e y entre 0 e 9.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 3,\; x^{2}\le y\le 3x\}

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