Exercício 2. Para cada função
a seguir, determine e esboce seu domínio:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar e esboçar seu domínio. Informações relevantes fornecidas:
- A função é definida em pares
reais (ou seja, estamos buscando um subconjunto de ). - A função composta envolve
aplicada ao valor . - É necessário garantir que o argumento de
esteja em um intervalo onde esteja definido (essa informação será usada nos passos seguintes).
Passo 2
O que é relevante sobre
: por definição real, a função
só aceita argumentos no intervalo fechado
Isto significa que, para
ser bem definida (valor real), é preciso ter
Explicar isso passo a passo: o símbolo
só faz sentido (como número real) quando
está entre
e
. Aqui
, então impomos essa condição em
.
Passo 3
Resolver a desigualdade dupla. Começamos escrevendo-a explicitamente:
Para simplificar, vamos somar
em todas as partes da desigualdade (operação permitida porque preserva as desigualdades):
ou seja,
Mostrei cada passo algébrico: adição de
em termos da desigualdade dupla e simplificação dos extremos.
Passo 4
Interpretar a desigualdade resultante:
significa que os pontos
devem ter coordenadas que satisfazem essa condição sobre a soma dos quadrados. Observação chave:
é exatamente o quadrado da distância ao origem (em coordenadas polares,
). Portanto a condição é
Como
, isso equivale a
Passo 5
Descrever geometricamente o domínio: a condição
define um anel (anel fechado) centrado na origem:
- O círculo interior tem raio
(a equação é a fronteira interna). - O círculo exterior tem raio
(a equação é a fronteira externa).
Ambas as fronteiras são incluídas (sinal de desigualdade ée ). Em notação de conjuntos:
Passo 6
Como esboçar (passo a passo, para fazer na prova à mão):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe um círculo centrado na origem com raio
. Marque que esse é o limite interno e que pertence ao domínio. - Desenhe outro círculo centrado na origem com raio
. Note que , então esse círculo fica um pouco além do primeiro. - Sombree (ou pinte) a região entre esses dois círculos, incluindo as bordas. Essa é a região do domínio.
Exemplos de pontos para checar:
-
tem , não satisfaz , portanto não pertence ao domínio. -
tem , pertence (fronteira interna). -
tem , pertence (fronteira externa). -
tem , não pertence.
Passo 7
Representações alternativas que podem ser úteis na prova:
- Em coordenadas polares:
- Em forma de desigualdade simples:
Observação final e encorajamento: o truque aqui é sempre lembrar da restrição de domínio da função composta (
) e transformar isso numa condição geométrica simples (soma de quadrados). Vai dar certo na prova — respira, faz o desenho e repete esse procedimento para outros casos parecidos.