Exercício 2. Para cada função f a seguir, determine e esboce seu domínio:
f(x, y)=\operatorname{arccos} \left(x^{2}+y^{2}-2\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\operatorname{arccos}\!\big(x^{2}+y^{2}-2\big)
e pede para determinar e esboçar seu domínio. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é definida em pares (x,y) reais (ou seja, estamos buscando um subconjunto de \mathbb{R}^{2}).
  • A função composta envolve \operatorname{arccos} aplicada ao valor x^{2}+y^{2}-2.
  • É necessário garantir que o argumento de \operatorname{arccos} esteja em um intervalo onde \operatorname{arccos} esteja definido (essa informação será usada nos passos seguintes).

Passo 2

O que é relevante sobre \operatorname{arccos}: por definição real, a função \operatorname{arccos} só aceita argumentos no intervalo fechado
[-1,1].
Isto significa que, para f(x,y) ser bem definida (valor real), é preciso ter
-1 \le x^{2}+y^{2}-2 \le 1.
Explicar isso passo a passo: o símbolo \operatorname{arccos}(t) só faz sentido (como número real) quando t está entre -1 e 1. Aqui t=x^{2}+y^{2}-2, então impomos essa condição em t.

Passo 3

Resolver a desigualdade dupla. Começamos escrevendo-a explicitamente:
-1 \le x^{2}+y^{2}-2 \le 1.
Para simplificar, vamos somar 2 em todas as partes da desigualdade (operação permitida porque preserva as desigualdades):
-1+2 \le x^{2}+y^{2} \le 1+2,
ou seja,
1 \le x^{2}+y^{2} \le 3.
Mostrei cada passo algébrico: adição de 2 em termos da desigualdade dupla e simplificação dos extremos.

Passo 4

Interpretar a desigualdade resultante:
1 \le x^{2}+y^{2} \le 3
significa que os pontos (x,y) devem ter coordenadas que satisfazem essa condição sobre a soma dos quadrados. Observação chave: x^{2}+y^{2} é exatamente o quadrado da distância ao origem (em coordenadas polares, x^{2}+y^{2}=r^{2}). Portanto a condição é
1 \le r^{2} \le 3.
Como r\ge 0, isso equivale a
1 \le r \le \sqrt{3}.

Passo 5

Descrever geometricamente o domínio: a condição 1 \le x^{2}+y^{2} \le 3 define um anel (anel fechado) centrado na origem:
  • O círculo interior tem raio 1 (a equação x^{2}+y^{2}=1 é a fronteira interna).
  • O círculo exterior tem raio \sqrt{3} (a equação x^{2}+y^{2}=3 é a fronteira externa).
    Ambas as fronteiras são incluídas (sinal de desigualdade é \le e \ge). Em notação de conjuntos:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 3\}.

Passo 6

Como esboçar (passo a passo, para fazer na prova à mão):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe um círculo centrado na origem com raio 1. Marque que esse é o limite interno e que pertence ao domínio.
  3. Desenhe outro círculo centrado na origem com raio \sqrt{3}. Note que \sqrt{3}\approx 1{,}732, então esse círculo fica um pouco além do primeiro.
  4. Sombree (ou pinte) a região entre esses dois círculos, incluindo as bordas. Essa é a região do domínio.
    Exemplos de pontos para checar:
  • (0,0) tem x^{2}+y^{2}=0, não satisfaz 1\le\cdot, portanto não pertence ao domínio.
  • (1,0) tem x^{2}+y^{2}=1, pertence (fronteira interna).
  • (\sqrt{3},0) tem x^{2}+y^{2}=3, pertence (fronteira externa).
  • (2,0) tem x^{2}+y^{2}=4>3, não pertence.

Passo 7

Representações alternativas que podem ser úteis na prova:
  • Em coordenadas polares:
\{(r,\theta)\mid 1\le r\le \sqrt{3},\\\ 0\le \theta<2\pi\}.
  • Em forma de desigualdade simples:
1\le x^{2}+y^{2}\le 3.
Observação final e encorajamento: o truque aqui é sempre lembrar da restrição de domínio da função composta ( \operatorname{arccos}) e transformar isso numa condição geométrica simples (soma de quadrados). Vai dar certo na prova — respira, faz o desenho e repete esse procedimento para outros casos parecidos.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 3\}

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