Seja X uma variável aleatória continua com f.d.p. dada por:
f(x)= \begin{cases}6\left(x-x^{2}\right), & \text { se } 0 \leq x \leq 1, \\\\ 0, & \text { c.c }\end{cases}
P(1 / 3 \leq X \leq 1 / 2).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X\): \[f(x)= \begin{cases}6\left(x-x^{2}\right), & \text{se } 0 \leq x \leq 1, \\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta é calcular a probabilidade
P\!\left(\tfrac{1}{3} \leq X \leq \tfrac{1}{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f(x)\] está definida em \([0,1] e vale zero fora desse intervalo.
  • Queremos a probabilidade de X estar no intervalo \left[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\right].]

Passo 2

Conceito importante (rápida revisão): para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X estar em um intervalo [a,b] é dada por
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Também é bom checar que f é de fato uma f.d.p.: isto significa \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Vamos checar isso com a função dada:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} 6(x-x^{2})\,dx.
Calculemos essa integral para confirmar normalização:
\int_{0}^{1} 6(x-x^{2})\,dx =6\int_{0}^{1} x\,dx - 6\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
As primitivas são \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2} e \int x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3}. Portanto
6\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} - 6\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =6\left(\tfrac{1}{2}-0\right)-6\left(\tfrac{1}{3}-0\right) =6\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right) =6\left(\tfrac{1}{6}\right)=1.
Boa: f está normalizada.

Passo 3

Agora aplicamos a definição para o intervalo pedido:
P\!\left(\tfrac{1}{3}\le X\le \tfrac{1}{2}\right)=\int_{1/3}^{1/2} 6(x-x^{2})\,dx.
Vou desenvolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Usando linearidade da integral,
\int_{1/3}^{1/2} 6(x-x^{2})\,dx =6\int_{1/3}^{1/2} x\,dx - 6\int_{1/3}^{1/2} x^{2}\,dx.
Calcule as primitivas:
6\int x\,dx = 6\cdot \tfrac{x^{2}}{2}=3x^{2}, \qquad 6\int x^{2}\,dx = 6\cdot \tfrac{x^{3}}{3}=2x^{3}.
Logo a primitiva da função integranda é 3x^{2}-2x^{3}. Assim
\int_{1/3}^{1/2} 6(x-x^{2})\,dx = \left[3x^{2}-2x^{3}\right]_{x=1/3}^{x=1/2}.

Passo 5

Avaliação nos limites.
Para x=\tfrac{1}{2}:
3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} =3\cdot \tfrac{1}{4}-2\cdot \tfrac{1}{8} =\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Para x=\tfrac{1}{3}:
3\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}-2\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3} =3\cdot \tfrac{1}{9}-2\cdot \tfrac{1}{27} =\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{27}.
Colocando com denominador comum 27:
\tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{27}=\tfrac{9}{27}-\tfrac{2}{27}=\tfrac{7}{27}.
Agora a diferença:
\tfrac{1}{2}-\tfrac{7}{27}.
Colocando em denominador comum 54:
\tfrac{1}{2}=\tfrac{27}{54},\qquad \tfrac{7}{27}=\tfrac{14}{54},
logo
\tfrac{27}{54}-\tfrac{14}{54}=\tfrac{13}{54}.
Portanto
P\!\left(\tfrac{1}{3}\le X\le \tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{13}{54}\approx 0,240740\ldots

Passo 6

Dica para a prova: sempre escreva claramente que está aplicando a definição de probabilidade para densidade contínua (integração da f.d.p. no intervalo) e mostre a primitiva. Se sob pressão, lembrar que aqui houve uma simplificação elegante: a primitiva deu 3x^{2}-2x^{3}, o que facilita as contas de cabeça.
Força aí — já fizemos a parte chata; agora só revisar esse procedimento algumas vezes que entra melhor na prova!

Resposta

\dfrac{13}{54}

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