Seja X uma variável aleatória continua com f.d.p. dada por:
f(x)= \begin{cases}6\left(x-x^{2}\right), & \text { se } 0 \leq x \leq 1, \\\\ 0, & \text { c.c }\end{cases}
P(1 / 3 \leq X \leq 1 / 2).
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X\):
\[f(x)= \begin{cases}6\left(x-x^{2}\right), & \text{se } 0 \leq x \leq 1, \\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta é calcular a probabilidade
P\!\left(\tfrac{1}{3} \leq X \leq \tfrac{1}{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
A função f(x)\] está definida em \([0,1] e vale zero fora desse intervalo.
Queremos a probabilidade de X estar no intervalo \left[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\right].]
Passo 2
Conceito importante (rápida revisão): para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X estar em um intervalo [a,b] é dada por
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Também é bom checar que f é de fato uma f.d.p.: isto significa \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1. Vamos checar isso com a função dada:
Dica para a prova: sempre escreva claramente que está aplicando a definição de probabilidade para densidade contínua (integração da f.d.p. no intervalo) e mostre a primitiva. Se sob pressão, lembrar que aqui houve uma simplificação elegante: a primitiva deu 3x^{2}-2x^{3}, o que facilita as contas de cabeça.
Força aí — já fizemos a parte chata; agora só revisar esse procedimento algumas vezes que entra melhor na prova!