Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
. O que se pede: determinar um fator integrante para a EDO dada e resolver a equação (achar a solução geral). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a presença de
impõe que trabalharemos com
(para evitar problemas com logaritmos e divisão por
).
Passo 2
Primeiro colocamos a equação numa forma explícita em
(ou seja, isolando
). Dividindo ambos os lados por
e por
obtemos
Reorganizando os termos com
à esquerda,
Aqui já temos uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
Passo 3
Explicando a técnica necessária (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
por
Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo em uma derivada do produto
:
Então integramos ambos os lados para obter
e, por fim, isolamos
. Nesta equação temos
e
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
:
valendo para
. Portanto o fator integrante escolhido é
.
Passo 5
Multiplicamos a equação por
. A equação original reorganizada era
. Multiplicando por
resulta
Pela regra do produto, o lado esquerdo é exatamente a derivada
Logo temos a igualdade
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para calcular a integral, escrevemos
e simplificamos:
Integramos termo a termo:
Somando:
Portanto
Passo 7
Isolamos
multiplicando por
:
onde
é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral da EDO no domínio
.
Passo 8
Verificação rápida (fazendo as contas para ganhar confiança): derivando
obtemos
Multiplicando por
,
Por outro lado,
que coincide com
. Logo a solução está correta.