Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
(\sqrt{x}-3+y) d x=x y^{\prime}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(\sqrt{x}-3+y)\,dx = x\,y',
onde y'=\dfrac{dy}{dx}. O que se pede: determinar um fator integrante para a EDO dada e resolver a equação (achar a solução geral). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a presença de \sqrt{x} impõe que trabalharemos com x>0 (para evitar problemas com logaritmos e divisão por x).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação numa forma explícita em y (ou seja, isolando dy/dx). Dividindo ambos os lados por dx e por x obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}-3+y}{x}.
Reorganizando os termos com y à esquerda,
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=\frac{\sqrt{x}-3}{x}.
Aqui já temos uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x).

Passo 3

Explicando a técnica necessária (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
define-se o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) transforma-se o lado esquerdo em uma derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)q(x).
Então integramos ambos os lados para obter \mu(x)y e, por fim, isolamos y. Nesta equação temos p(x)=-\dfrac{1}{x} e q(x)=\dfrac{\sqrt{x}-3}{x}.

Passo 4

Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln x)=\frac{1}{x},
valendo para x>0. Portanto o fator integrante escolhido é \mu(x)=\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação por \mu(x)=\dfrac{1}{x}. A equação original reorganizada era \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{1}{x}y=\dfrac{\sqrt{x}-3}{x}. Multiplicando por 1/x resulta
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y=\frac{\sqrt{x}-3}{x^2}.
Pela regra do produto, o lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y.
Logo temos a igualdade
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\sqrt{x}-3}{x^2}.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{y}{x}=\int \frac{\sqrt{x}-3}{x^2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Para calcular a integral, escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e simplificamos:
\frac{\sqrt{x}-3}{x^2}=x^{-3/2}-3x^{-2}.
Integramos termo a termo:
\int x^{-3/2}\,dx=\frac{x^{-1/2}}{-1/2}=-2x^{-1/2}=-\frac{2}{\sqrt{x}},
\int -3x^{-2}\,dx=-3\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=3x^{-1}=\frac{3}{x}.
Somando:
\int \frac{\sqrt{x}-3}{x^2}\,dx=-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x}+C.
Portanto
\frac{y}{x}=-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x}+C.

Passo 7

Isolamos y multiplicando por x:
y=-2\sqrt{x}+3+Cx,
onde C é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral da EDO no domínio x>0.

Passo 8

Verificação rápida (fazendo as contas para ganhar confiança): derivando y obtemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{x}}+C.
Multiplicando por x,
x\frac{dy}{dx}=-\sqrt{x}+Cx.
Por outro lado,
\sqrt{x}-3+y=\sqrt{x}-3+\big(-2\sqrt{x}+3+Cx\big)=-\sqrt{x}+Cx,
que coincide com x\,dy/dx. Logo a solução está correta.

Resposta

y=-2\sqrt{x}+3+Cx

Exercícios relacionados