Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
e^{y}\left(x^{2}+1\right)=2 y^{\prime}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{y}\left(x^{2}+1\right)=2y',
ou, escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} e multiplicando por dx,
e^{y}\left(x^{2}+1\right)\,dx-2\,dy=0.
O que se pede: determinar um fator integrante para essa EDO e resolvê‑la.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(x,y)=e^{y}\left(x^{2}+1\right),\qquad N(x,y)=-2,
onde a equação diferencial foi colocada na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Vou checar se a forma diferencial é exata. Uma forma M\,dx+N\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{y}(x^{2}+1)\right)=e^{y}(x^{2}+1),
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2)=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata. Então precisamos encontrar um fator integrante \mu (que pode depender só de x ou só de y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata.

Passo 3

Tento ver se existe um fator integrante que dependa apenas de y. A condição prática é que
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
deve ser função apenas de y. Calculo:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}=\frac{0-e^{y}(x^{2}+1)}{e^{y}(x^{2}+1)}=-1.
Isso é uma constante (portanto depende somente de y). Logo existe um fator integrante que depende só de y. A relação entre \mu(y) e essa expressão é
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=-1,
onde \mu'(y)=\dfrac{d\mu}{dy}. Esta equação é uma ODE simples para \mu: separar e integrar.

Passo 4

Resolvo a ODE para \mu:
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=-1\quad\Longrightarrow\quad \frac{d\mu}{\mu}=-dy.
Integrando ambos os lados:
\ln|\mu|=-y + C_0.
Escolhendo a constante multiplicativa conveniente (podemos tomar C_0=0), obtemos o fator integrante
\mu(y)=e^{-y}.

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(y)=e^{-y}. Lembro que a forma original em diferencial era e^{y}(x^{2}+1)\,dx-2\,dy=0. Multiplicando:
e^{-y}\cdot e^{y}(x^{2}+1)\,dx - 2 e^{-y}\,dy = (x^{2}+1)\,dx - 2e^{-y}\,dy = 0.
Defino agora
\tilde M(x,y)=x^{2}+1,\qquad \tilde N(x,y)=-2e^{-y}.
Verifico exatidão:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=0,
logo \dfrac{\partial \tilde M}{\partial y}=\dfrac{\partial \tilde N}{\partial x} e a forma é exata.

Passo 6

Como a forma é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M(x,y)=x^{2}+1
e
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde N(x,y)=-2e^{-y}.
Integro \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=x^{2}+1 em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (x^{2}+1)\,dx = \frac{1}{3}x^{3}+x + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y. Agora uso a outra condição:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=h'(y) \stackrel{!}{=}-2e^{-y}.
Logo
h'(y)=-2e^{-y}\quad\Longrightarrow\quad h(y)=\int -2e^{-y}\,dy = 2e^{-y} + C_1.
Posso absorver a constante C_1 na constante final da solução.

Passo 7

Portanto a função potencial (sem a constante arbitrária) é
\Phi(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+x+2e^{-y}.
A solução geral implícita da equação exata é dada por
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Se quisermos isolar y, fazemos manipulação algébrica e logaritmo.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}x^{3}+x+2e^{-y}=C

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