Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
ou, escrevendo
e multiplicando por
,
O que se pede: determinar um fator integrante para essa EDO e resolvê‑la.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
onde a equação diferencial foi colocada na forma
Passo 2
Vou checar se a forma diferencial é exata. Uma forma
é exata se
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então precisamos encontrar um fator integrante
(que pode depender só de
ou só de
) tal que
seja exata.
Passo 3
Tento ver se existe um fator integrante que dependa apenas de
. A condição prática é que
deve ser função apenas de
. Calculo:
Isso é uma constante (portanto depende somente de
). Logo existe um fator integrante que depende só de
. A relação entre
e essa expressão é
onde
. Esta equação é uma ODE simples para
: separar e integrar.
Passo 4
Resolvo a ODE para
:
Integrando ambos os lados:
Escolhendo a constante multiplicativa conveniente (podemos tomar
), obtemos o fator integrante
Passo 5
Multiplico a equação original por
. Lembro que a forma original em diferencial era
. Multiplicando:
Defino agora
Verifico exatidão:
logo
e a forma é exata.
Passo 6
Como a forma é exata, existe uma função potencial
tal que
e
Integro
em relação a
:
onde
é uma função desconhecida de
. Agora uso a outra condição:
Logo
Posso absorver a constante
na constante final da solução.
Passo 7
Portanto a função potencial (sem a constante arbitrária) é
A solução geral implícita da equação exata é dada por
onde
é constante arbitrária. Se quisermos isolar
, fazemos manipulação algébrica e logaritmo.