Exercício 5.2. Mostre que \mu(x, y)=\frac{1}{(3+y)\left(2+x^{2}\right)} é fator integrante da EDO \frac{d y}{d x}=\frac{3 x+x y}{2 y^{2}+x^{2} y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{3x+xy}{2y^{2}+x^{2}y}
e a função candidata a fator integrante
\mu(x,y)=\frac{1}{(3+y)\left(2+x^{2}\right)}.
A tarefa pedida é verificar se essa \mu(x,y) é um fator integrante da EDO — isto é, se ao multiplicarmos a equação por \mu obtemos uma equação diferencial exata.
Informações relevantes fornecidas:
\text{EDO: }\frac{dy}{dx}=\frac{3x+xy}{2y^{2}+x^{2}y},\qquad \mu(x,y)=\frac{1}{(3+y)(2+x^{2})}.

Passo 2

O que significa “fator integrante” neste contexto? Vou explicar passo a passo, com calma.
Se tivermos uma EDO escrita na forma diferencial
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
ela é exata quando existe uma função \Psi(x,y) tal que
\Psi_x=M\quad\text{e}\quad \Psi_y=N,
o que implica a condição de exatidão
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Um fator integrante \mu(x,y) é uma função tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu, a nova equação
\big(\mu M\big)\,dx+\big(\mu N\big)\,dy=0
se torna exata, ou seja,
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}.
Assim, para mostrar que uma dada \mu é fator integrante, basta escrever a EDO na forma M\,dx+N\,dy=0, calcular \partial(\mu M)/\partial y e \partial(\mu N)/\partial x e verificar se são iguais. Vou aplicar exatamente esse processo.

Passo 3

Primeiro colocamos a EDO na forma M\,dx+N\,dy=0. A equação dada é
\frac{dy}{dx}=\frac{3x+xy}{2y^{2}+x^{2}y}.
Reescrevendo como diferencial:
-\,\frac{3x+xy}{2y^{2}+x^{2}y}\,dx + 1\cdot dy=0.
Portanto escolhemos
M(x,y)=-\frac{3x+xy}{2y^{2}+x^{2}y},\qquad N(x,y)=1.
(O arranjo M\,dx+N\,dy=0 com M=-R e N=1 é o uso direto de dy/dx=R.)

Passo 4

Agora calculamos \mu M e \mu N com a \mu proposta e as derivadas parciais necessárias.
Primeiro escrevo \mu:
\mu(x,y)=\frac{1}{(3+y)(2+x^{2})}.
Calculo \mu N:
\mu N=\mu\cdot 1=\frac{1}{(3+y)(2+x^{2})}.
Derivada parcial de \mu N em relação a x:
\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{(3+y)(2+x^{2})}\right).
Como y é tratado como constante ao derivar em x, isto é
\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} =\frac{1}{3+y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2+x^{2}}\right) =\frac{1}{3+y}\cdot\left(-\,\frac{2x}{(2+x^{2})^{2}}\right).
Logo
\boxed{\displaystyle \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}=-\frac{2x}{(3+y)(2+x^{2})^{2}}.}

Passo 5

Agora calculemos \mu M. Lembre que M=-\dfrac{3x+xy}{2y^{2}+x^{2}y}. Faço pequenas simplificações antes de derivar:
3x+xy=x(3+y),\qquad 2y^{2}+x^{2}y = y(2y+x^{2}).
Assim
M=-\frac{x(3+y)}{y(2y+x^{2})}.
Multiplicando por \mu:
\mu M =\frac{1}{(3+y)(2+x^{2})}\cdot\left(-\frac{x(3+y)}{y(2y+x^{2})}\right).
O fator (3+y) cancela, resultando
\mu M = -\frac{x}{y(2y+x^{2})(2+x^{2})}.

Passo 6

Agora derivamos \mu M em relação a y. Trato x como constante. Escrevo
\mu M = -\frac{x}{2+x^{2}}\cdot \frac{1}{y(2y+x^{2})}.
Defino u(y)=\dfrac{1}{y(2y+x^{2})}=\dfrac{1}{2y^{2}+x^{2}y}. A derivada de u em relação a y é
u'(y) = -\frac{4y+x^{2}}{(2y^{2}+x^{2}y)^{2}}.
Portanto
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = -\frac{x}{2+x^{2}}\cdot u'(y) = -\frac{x}{2+x^{2}}\cdot\left(-\frac{4y+x^{2}}{(2y^{2}+x^{2}y)^{2}}\right).
Simplificando os sinais:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial (\mu M)}{\partial y} =\frac{x(4y+x^{2})}{(2+x^{2})(2y^{2}+x^{2}y)^{2}}.}

Passo 7

Comparo agora as duas derivadas que devem ser iguais se \mu for fator integrante:
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}.
Reescrevo-as lado a lado:
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} =\frac{x(4y+x^{2})}{(2+x^{2})(2y^{2}+x^{2}y)^{2}},
\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} =-\frac{2x}{(3+y)(2+x^{2})^{2}}.
Observação: ambas dependem de x e y, e não são iguais para uso geral. Para que fossem iguais seria necessário que a identidade entre as duas expressões valesse para todo (x,y) no domínio, o que não acontece — por exemplo, pela presença de fatores distintos em numeradores e denominadores (( 2y^{2}+x^{2}y ao quadrado em uma, e (3+y)(2+x^{2})^{2} na outra) não há simplificação que torne as duas expressões idênticas como funções gerais de x,y).

Passo 8

Como as duas derivadas parciais não coincidem em geral,
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}\neq\frac{\partial (\mu N)}{\partial x),
a função \mu(x,y)=\dfrac{1}{(3+y)(2+x^{2})} NÃO transforma a equação multiplicada em uma equação exata. Logo, \mu não é fator integrante da EDO dada.

Resposta

Não, \mu(x,y)=\dfrac{1}{(3+y)\left(2+x^{2}\right)} não é fator integrante da EDO.

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