Exercício 5.2. Mostre que
é fator integrante da EDO
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a função candidata a fator integrante
A tarefa pedida é verificar se essa
é um fator integrante da EDO — isto é, se ao multiplicarmos a equação por
obtemos uma equação diferencial exata.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que significa “fator integrante” neste contexto? Vou explicar passo a passo, com calma.
Se tivermos uma EDO escrita na forma diferencial
ela é exata quando existe uma função
tal que
o que implica a condição de exatidão
Um fator integrante
é uma função tal que, ao multiplicar toda a equação por
, a nova equação
se torna exata, ou seja,
Assim, para mostrar que uma dada
é fator integrante, basta escrever a EDO na forma
, calcular
e
e verificar se são iguais. Vou aplicar exatamente esse processo.
Passo 3
Primeiro colocamos a EDO na forma
. A equação dada é
Reescrevendo como diferencial:
Portanto escolhemos
(O arranjo
com
e
é o uso direto de
.)
Passo 4
Agora calculamos
e
com a
proposta e as derivadas parciais necessárias.
Primeiro escrevo
:
Calculo
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Como
é tratado como constante ao derivar em
, isto é
Logo
Passo 5
Agora calculemos
. Lembre que
. Faço pequenas simplificações antes de derivar:
Assim
Multiplicando por
:
O fator
cancela, resultando
Passo 6
Agora derivamos
em relação a
. Trato
como constante. Escrevo
Defino
. A derivada de
em relação a
é
Portanto
Simplificando os sinais:
Passo 7
Comparo agora as duas derivadas que devem ser iguais se
for fator integrante:
Reescrevo-as lado a lado:
Observação: ambas dependem de
e
, e não são iguais para uso geral. Para que fossem iguais seria necessário que a identidade entre as duas expressões valesse para todo
no domínio, o que não acontece — por exemplo, pela presença de fatores distintos em numeradores e denominadores ((
ao quadrado em uma, e
na outra) não há simplificação que torne as duas expressões idênticas como funções gerais de
).
Passo 8
Como as duas derivadas parciais não coincidem em geral,
a função
NÃO transforma a equação multiplicada em uma equação exata. Logo,
não é fator integrante da EDO dada.
Resposta
Não,
não é fator integrante da EDO.