Exercício 4.3. Em cada item, diga se a EDO dada é exata. Resolva as EDO’s e os PVI’s.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As perguntas implícitas são: (1) essa EDO é exata? (2) resolva a EDO (ou seja, encontre a solução geral) e resolva os PVI’s, caso haja condições iniciais (aqui não foi dada nenhuma condição inicial, então encontraremos a solução geral). Informações relevantes extraídas do enunciado: podemos colocar a equação na forma
onde, pelo enunciado,
(Observação: troquei
por
na notação LaTeX.)
Passo 2
O que significa ser uma equação exata (explicação didática): uma equação diferencial na forma
é exata quando existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios apropriados) é a igualdade das derivadas parciais cruzadas:
Vou aplicar essa condição ao nosso
e
.
Passo 3
Calcule
. Usando
, derivamos em relação a
tratando
como constante:
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
(porque
é constante quando derivamos em relação a
) e a derivada de
em relação a
é
(pois
é constante e a derivada de
é
).
Passo 4
Calcule
. Usando
, derivamos em relação a
tratando
como constante:
Expliquei: a derivada de
é
, a de
em relação a
é
(porque
é constante em relação a
), e a de
é
.
Passo 5
Compare as parciais. Observamos que
Portanto a condição de exatidão é satisfeita: a EDO é exata. (Pequena comemoração: isso significa que existe uma função
cujo diferencial total é
.)
Passo 6
Método para resolver (explicação didática): como a equação é exata, buscamos
tal que
e
. A maneira prática é integrar
em relação a
(tratando
como constante) para obter
até uma função arbitrária de
, digamos
. Depois diferenciamos esse
em relação a
e comparamos com
para determinar
. Vou executar isso passo a passo.
Passo 7
Integre
em relação a
:
Integrando termo a termo em
(tratando
como constante):
-
, porque e é constante; -
, porque é constante em relação a e .
Portanto uma primitiva é
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 8
Determine
usando a condição
. Calcule
a partir do
acima:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos iguais nos dois lados, obtemos
Integramos em
:
onde
é constante numérica.
Passo 9
Então a função potencial
(até constante) é
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
ou seja
Isso é a família de soluções implícitas. Se houvesse um PVI (condição inicial
), bastaria substituir
,
nessa expressão para determinar
e obter a solução particular.
Resposta
A EDO é exata.