Exercício 4.3. Em cada item, diga se a EDO dada é exata. Resolva as EDO’s e os PVI’s.
y \cos x+2 x e^{y}+\left(\operatorname{sen} x+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\cos x + 2x e^{y} + \big(\operatorname{sen} x + x^{2} e^{y} - 1\big) y' = 0.
As perguntas implícitas são: (1) essa EDO é exata? (2) resolva a EDO (ou seja, encontre a solução geral) e resolva os PVI’s, caso haja condições iniciais (aqui não foi dada nenhuma condição inicial, então encontraremos a solução geral). Informações relevantes extraídas do enunciado: podemos colocar a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde, pelo enunciado,
M(x,y)=y\cos x + 2x e^{y},
N(x,y)=\sin x + x^{2} e^{y} - 1.
(Observação: troquei \operatorname{sen} x por \sin x na notação LaTeX.)

Passo 2

O que significa ser uma equação exata (explicação didática): uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 é exata quando existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y).
Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios apropriados) é a igualdade das derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Vou aplicar essa condição ao nosso M e N.

Passo 3

Calcule \partial M/\partial y. Usando M(x,y)=y\cos x + 2x e^{y}, derivamos em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos x + 2x e^{y}.
Expliquei: a derivada de y\cos x em relação a y é \cos x (porque \cos x é constante quando derivamos em relação a y) e a derivada de 2x e^{y} em relação a y é 2x e^{y} (pois x é constante e a derivada de e^{y} é e^{y}).

Passo 4

Calcule \partial N/\partial x. Usando N(x,y)=\sin x + x^{2} e^{y} - 1, derivamos em relação a x tratando y como constante:
\frac{\partial N}{\partial x}=\cos x + 2x e^{y}.
Expliquei: a derivada de \sin x é \cos x, a de x^{2} e^{y} em relação a x é 2x e^{y} (porque e^{y} é constante em relação a x), e a de -1 é 0.

Passo 5

Compare as parciais. Observamos que
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos x + 2x e^{y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto a condição de exatidão é satisfeita: a EDO é exata. (Pequena comemoração: isso significa que existe uma função \Phi(x,y) cujo diferencial total é d\Phi = M\,dx + N\,dy.)

Passo 6

Método para resolver (explicação didática): como a equação é exata, buscamos \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. A maneira prática é integrar M em relação a x (tratando y como constante) para obter \Phi até uma função arbitrária de y, digamos h(y). Depois diferenciamos esse \Phi em relação a y e comparamos com N para determinar h(y). Vou executar isso passo a passo.

Passo 7

Integre M em relação a x:
M(x,y)=y\cos x + 2x e^{y}.
Integrando termo a termo em x (tratando y como constante):
  • \displaystyle \int y\cos x\,dx = y\sin x, porque \int \cos x\,dx=\sin x e y é constante;
  • \displaystyle \int 2x e^{y}\,dx = e^{y}\int 2x\,dx = e^{y} x^{2}, porque e^{y} é constante em relação a x e \int 2x\,dx = x^{2}.
    Portanto uma primitiva é
\Phi(x,y)=y\sin x + x^{2} e^{y} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 8

Determine h(y) usando a condição \Phi_{y}=N. Calcule \Phi_{y} a partir do \Phi acima:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\sin x + x^{2} e^{y} + h'(y).
Mas sabemos que \Phi_{y} deve ser igual a N(x,y)=\sin x + x^{2} e^{y} - 1. Igualando:
\sin x + x^{2} e^{y} + h'(y)=\sin x + x^{2} e^{y} - 1.
Cancelando os termos iguais nos dois lados, obtemos
h'(y) = -1.
Integramos em y:
h(y) = -y + C,
onde C é constante numérica.

Passo 9

Então a função potencial \Phi (até constante) é
\Phi(x,y)=y\sin x + x^{2} e^{y} - y + C.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=\text{constante},
ou seja
y\sin x + x^{2} e^{y} - y = C.
Isso é a família de soluções implícitas. Se houvesse um PVI (condição inicial y(x_{0})=y_{0}), bastaria substituir x=x_{0}, y=y_{0} nessa expressão para determinar C e obter a solução particular.

Resposta

A EDO é exata.
y\sin x + x^{2} e^{y} - y = C

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