Exercício 4.3. Em cada item, diga se a EDO dada é exata. Resolva as EDO’s e os PVI’s.
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a EDO dada é exata e, se for, resolva-a (e resolva o PVI caso haja condição inicial). A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está na forma
. - Posso identificar
- Observação importante: existe
, então o domínio natural exige .
Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que é pedido e quais são os dados.
Passo 2
Conceito de exatidão (mini-aula rápida e prática). Se eu escrever a EDO como
ela é exata se existe uma função potencial
tal que
Um critério prático (para domínios onde
têm derivadas parciais contínuas) é verificar
Se essa igualdade vale, a equação é exata. Se não valer, às vezes existe um fator integrante
ou
que torna a equação exata — mas só penso nisso se necessário.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais pedidas para verificar exatidão.
Primeiro, derivo
em relação a
:
porque
e
são constantes em relação a
.
Agora, derivo
em relação a
:
pois
é constante em
e
.
Como
a equação é exata no domínio onde as funções estão definidas (em particular para
). Bom sinal — vamos resolver usando a potencial
.
Passo 4
Método para resolver uma equação exata (mini-aula aplicada). Se
, encontro
integrando
em relação a
e adicionando uma função desconhecida de
, digamos
. Depois determino
usando
.
Integro
em relação a
:
Fazendo a integral termo a termo (lembrando que
é constante em
):
-
. -
. -
(resultado padrão de integrar ).
Portanto
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Determino
usando a condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Essa derivada deve ser igual a
. Igualando:
Integro
para achar
:
Posso incorporar a constante
na constante final da solução implícita, então tomo
(sem perda).
Passo 6
Escrevo a função potencial completa e a solução geral implícita. Substituindo
,
A solução geral da EDO exata é dada por
ou seja,
onde
é constante arbitrária. Reforçando: o domínio natural é
por causa de
.
Passo 7
Observações finais e como proceder se houvesse um PVI (mini-aula prática). Neste enunciado não foi dada nenhuma condição inicial, então a solução geral acima é o que eu posso fornecer. Se eu tivesse um PVI do tipo
, eu substituiria
na expressão
para determinar o valor numérico de
e assim obter a solução particular. Lembrete: qualquer PVI só vale se
por causa do logaritmo.