Exercício 1. Em cada item, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base B=\left\{u_{1}, u_{2}\right\} de \mathbb{R}^{2} (ou seja: calcule [w]_{B} ):
(a) u_{1}=(1,0), \quad u_{2}=(0,1), \quad w=(3,-7).
(b) u_{1}=(2,-4), \quad u_{2}=(3,8), \quad w=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede, em cada item, para encontrar o vetor de coordenadas de w em relação à base B=\{u_{1},u_{2}\} de \mathbb{R}^{2}. Ou seja: para cada item devemos calcular [w]_{B}, que é o vetor cujas componentes são os coeficientes que escrevem w como combinação linear de u_{1} e u_{2}.
Informações dadas:
(a) u_{1}=(1,0),\quad u_{2}=(0,1),\quad w=(3,-7).
(b) u_{1}=(2,-4),\quad u_{2}=(3,8),\quad w=(1,1).

Passo 2

O que significa encontrar [w]_{B}? Precisamos achar números \alpha e \beta tais que
w=\alpha\,u_{1}+\beta\,u_{2}.
O vetor [w]_{B} é então
[w]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix}.
A razão disso é que \{u_{1},u_{2}\} é uma base: todo vetor w\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito de forma única como combinação linear desses dois vetores. Para encontrar \alpha,\beta montamos um sistema linear a partir das componentes das coordenadas e resolvemos esse sistema. Vou usar o método da substituição (simples e direto para 2\times2).]

Passo 3

Item (a). Montamos a equação
(3,-7)=\alpha\,(1,0)+\beta\,(0,1).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha = 3,\\[4pt] \beta = -7. \end{cases}
Isso acontece porque u_{1} e u_{2} são os vetores padrão da base canônica: u_{1}=(1,0) dá diretamente a primeira coordenada e u_{2}=(0,1) dá a segunda.]

Passo 4

Concluímos, portanto, para (a):
[w]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-7\end{pmatrix}.
(Faça uma checagem mental: 3(1,0)+(-7)(0,1)=(3,-7), confere.)]

Passo 5

Item (b). Montamos a equação
(1,1)=\alpha\,(2,-4)+\beta\,(3,8).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema linear em \alpha e \beta:
\begin{cases} 2\alpha+3\beta=1,\\[4pt] -4\alpha+8\beta=1. \end{cases}]

Passo 6

Vou resolver por substituição. Da primeira equação isolamos \alpha:
2\alpha=1-3\beta\quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{1-3\beta}{2}.
Agora substituímos esse \alpha na segunda equação.

Passo 7

Substituindo \alpha na segunda equação:
-4\left(\dfrac{1-3\beta}{2}\right)+8\beta=1.
Simplifico passo a passo:
-4\cdot\dfrac{1-3\beta}{2}=-2(1-3\beta)=-2+6\beta.
Então a equação vira
-2+6\beta+8\beta=1.
Somando termos em \beta:
14\beta-2=1.
Isolando \beta:
14\beta=3\quad\Rightarrow\quad \beta=\dfrac{3}{14}.

Passo 8

Agora encontramos \alpha usando \alpha=\dfrac{1-3\beta}{2}:
\alpha=\dfrac{1-3\cdot\frac{3}{14}}{2}=\dfrac{1-\frac{9}{14}}{2}=\dfrac{\frac{5}{14}}{2}=\dfrac{5}{28}.

Passo 9

Vale a pena checar: calcule \alpha u_{1}+\beta u_{2}:
\alpha u_{1}+\beta u_{2}=\left(2\cdot\dfrac{5}{28}+3\cdot\dfrac{3}{14},\;-4\cdot\dfrac{5}{28}+8\cdot\dfrac{3}{14}\right).
Simplificando:
\left(\dfrac{10}{28}+\dfrac{18}{28},\;-\dfrac{20}{28}+\dfrac{48}{28}\right)=\left(\dfrac{28}{28},\;\dfrac{28}{28}\right)=(1,1),
confirma que está correto.

Resposta

(a) [w]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-7\end{pmatrix}
(b) [w]_{B}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{28}\\[6pt]\dfrac{3}{14}\end{pmatrix}]

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