Exercício 1. Em cada item, encontre o vetor de coordenadas de
em relação à base
de
(ou seja: calcule
):
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede, em cada item, para encontrar o vetor de coordenadas de
em relação à base
de
. Ou seja: para cada item devemos calcular
, que é o vetor cujas componentes são os coeficientes que escrevem
como combinação linear de
e
.
Informações dadas:
(a) .
(a)
(b)
.
Passo 2
O que significa encontrar
? Precisamos achar números
e
tais que
O vetor
é então
A razão disso é que
é uma base: todo vetor
pode ser escrito de forma única como combinação linear desses dois vetores. Para encontrar
montamos um sistema linear a partir das componentes das coordenadas e resolvemos esse sistema. Vou usar o método da substituição (simples e direto para
).]
Passo 3
Item (a). Montamos a equação
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
Isso acontece porque
e
são os vetores padrão da base canônica:
dá diretamente a primeira coordenada e
dá a segunda.]
Passo 4
Concluímos, portanto, para (a):
(Faça uma checagem mental:
, confere.)]
Passo 5
Item (b). Montamos a equação
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema linear em
e
:
Passo 6
Vou resolver por substituição. Da primeira equação isolamos
:
Agora substituímos esse
na segunda equação.
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Simplifico passo a passo:
Então a equação vira
Somando termos em
:
Isolando
:
Passo 8
Agora encontramos
usando
:
Passo 9
Vale a pena checar: calcule
:
Simplificando:
confirma que está correto.
Resposta
(a)
(b)
]