Exercício 2. Em relação à base B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, encontre o vetor de coordenadas [w]_{B}, onde
v_{1}=(1,0,0), \quad v_{2}=(2,2,0), \quad v_{3}=(3,3,3), \quad w=(2,-1,3) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor de coordenadas [w]_{B} relativo à base B=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}. As informações dadas são:
v_{1}=(1,0,0),\quad v_{2}=(2,2,0),\quad v_{3}=(3,3,3),\quad w=(2,-1,3).
Portanto a pergunta é: quais são os escalares \,c_{1},c_{2},c_{3}\, tais que w = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}? Esses escalares formam [w]_{B}.

Passo 2

O que significa achar [w]_{B}?
Definição: o vetor de coordenadas [w]_{B} é o vetor formado pelos coeficientes \,c_{1},c_{2},c_{3}\, na combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} que produz w. Como B é base (ou seja, os três vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}), existe uma única combinação linear com esses coeficientes. Na prova, o procedimento padrão é escrever
w = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}
e resolver para \,c_{1},c_{2},c_{3}\,.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear pedida temos:
c_{1}(1,0,0)+c_{2}(2,2,0)+c_{3}(3,3,3) = (2,-1,3).

Passo 4

Agora igualamos componente a componente (primeira coordenada com primeira, segunda com segunda, terceira com terceira). Isso gera o sistema:
\begin{cases} c_{1}+2c_{2}+3c_{3}=2,\\[4pt] 0\cdot c_{1}+2c_{2}+3c_{3}=-1,\\[4pt] 0\cdot c_{1}+0\cdot c_{2}+3c_{3}=3. \end{cases}]

Passo 5

Começamos pela equação mais simples, a da terceira componente:
3c_{3}=3.
Dividindo ambos os lados por 3 obtemos
c_{3}=1.

Passo 6

Substituímos c_{3}=1 na segunda equação do sistema:
2c_{2}+3c_{3}=-1 \quad\Longrightarrow\quad 2c_{2}+3\cdot 1=-1.
Isso dá
2c_{2}+3=-1 \quad\Longrightarrow\quad 2c_{2}=-4 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}=-2.

Passo 7

Agora substituímos c_{2}=-2 e c_{3}=1 na primeira equação:
c_{1}+2c_{2}+3c_{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}+2(-2)+3(1)=2.
Calculando os termos:
c_{1}-4+3=2 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}-1=2 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}=3.

Passo 8

Achamos, portanto, os coeficientes:
c_{1}=3,\qquad c_{2}=-2,\qquad c_{3}=1.
Como verificação rápida (útil na prova), recompondo:
3v_{1}-2v_{2}+1v_{3} = 3(1,0,0)-2(2,2,0)+(3,3,3)
= (3,0,0)+(-4,-4,0)+(3,3,3) = (3-4+3,\;0-4+3,\;0+0+3) = (2,-1,3)=w,
confirma que está correto.

Resposta

[w]_{B}=(3,-2,1)

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