Exercício 3. Considere as bases B=\left\{u_{1}, u_{2}\right\} e B^{\prime}=\left\{u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}\right\} de \mathbb{R}^{2}, em que
u_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right], \quad u_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad u_{1}^{\prime}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad u_{2}^{\prime}=\left[\begin{array}{c} -3 \\\\ 4 \end{array}\right] .
(a) Encontre a matriz de transição de B^{\prime} para B.
(b) Encontre a matriz de transição de B para B^{\prime}.
(c) Encontre [w]_{B}, onde
w=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ -5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) A matriz de transição de B^{\prime} para B.
  2. (b) A matriz de transição de B para B^{\prime}.
  3. (c) O vetor de coordenadas [w]_{B}, onde w é dado.
As informações fornecidas (vou listar os vetores exatamente como no enunciado):
u_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad u_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad u_{1}^{\prime}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad u_{2}^{\prime}=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]4\end{pmatrix},
e
w=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-5\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é a matriz de transição de B^{\prime} para B e como achá‑la (explicação didática):
  • Por definição, a matriz de transição de B^{\prime} para B, que vou denotar por P_{B'\to B}, transforma coordenadas de um vetor em relação à base B^{\prime} nas coordenadas desse mesmo vetor em relação à base B. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{B} = P_{B'\to B}\,[v]_{B'}.
  • Uma forma prática de construir P_{B'\to B} é colocar, como colunas, as coordenadas de cada vetor da base B^{\prime} escritas na base B. Cada coluna corresponde a [u_i']_{B}.
  • No nosso caso B=\{u_1,u_2\} é a base canônica (vetores padrão), então as coordenadas de um vetor em relação a B são exatamente suas componentes. Portanto
[u_{1}^{\prime}]_{B}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad [u_{2}^{\prime}]_{B}=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]4\end{pmatrix}.
  • Logo, montamos P_{B'\to B} colocando essas colunas na ordem correspondente a u_1',u_2':
P_{B'\to B}=\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como obter a matriz de transição de B para B^{\prime} (explicação didática e cálculo passo a passo):
  • A matriz de transição inversa satisfaz
P_{B'\to B}\,P_{B\to B'} = I,
ou seja, P_{B\to B'} = (P_{B'\to B})^{-1}. Intuição: ir de B para B' é desfazer a transformação de B' para B.
  • Temos P_{B'\to B}=\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}. Para inverter uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix},
desde que o determinante ad-bc\neq0.
  • Calcule o determinante de P_{B'\to B}:
\det(P_{B'\to B}) = 2\cdot 4 - (-3)\cdot 1 = 8+3 = 11.
  • Aplicando a fórmula da inversa com a=2,\\ b=-3,\\ c=1,\\ d=4, obtemos
P_{B\to B'} = (P_{B'\to B})^{-1} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix}4 & 3\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
  • Se quiser checar mentalmente: multiplicando P_{B'\to B} por essa inversa deve sair a identidade 2\times2; isso confirma que a inversa está correta.]

Passo 4

Encontrar [w]_{B} (explicação didática passo a passo):
  • O vetor [w]_{B} significa "as coordenadas do vetor w na base B". Como B é a base canônica u_{1}=(1,0)^{T}, u_{2}=(0,1)^{T}, representar w na base B é escrever w como combinação linear de u_1 e u_2:
w = \alpha\,u_{1} + \beta\,u_{2}.
  • Se u_{1}=(1,0)^{T} e u_{2}=(0,1)^{T}, então os coeficientes \alpha e \beta são exatamente as componentes do vetor w.
  • Como w=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-5\end{pmatrix}, temos \alpha=3 e \beta=-5. Portanto
[w]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-5\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \frac{1}{11}\begin{pmatrix}4 & 3\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix}
(c) \displaystyle \begin{pmatrix}3\\[2pt]-5\end{pmatrix}]

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