O que é a matriz de transição de B^{\prime} para B e como achá‑la (explicação didática):
Por definição, a matriz de transição de B^{\prime} para B, que vou denotar por P_{B'\to B}, transforma coordenadas de um vetor em relação à base B^{\prime} nas coordenadas desse mesmo vetor em relação à base B. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{B} = P_{B'\to B}\,[v]_{B'}.
Uma forma prática de construir P_{B'\to B} é colocar, como colunas, as coordenadas de cada vetor da base B^{\prime} escritas na base B. Cada coluna corresponde a [u_i']_{B}.
No nosso caso B=\{u_1,u_2\} é a base canônica (vetores padrão), então as coordenadas de um vetor em relação a B são exatamente suas componentes. Portanto
Se quiser checar mentalmente: multiplicando P_{B'\to B} por essa inversa deve sair a identidade 2\times2; isso confirma que a inversa está correta.]
Passo 4
Encontrar [w]_{B} (explicação didática passo a passo):
O vetor [w]_{B} significa "as coordenadas do vetor w na base B". Como B é a base canônica u_{1}=(1,0)^{T}, u_{2}=(0,1)^{T}, representar w na base B é escrever w como combinação linear de u_1 e u_2:
w = \alpha\,u_{1} + \beta\,u_{2}.
Se u_{1}=(1,0)^{T} e u_{2}=(0,1)^{T}, então os coeficientes \alpha e \beta são exatamente as componentes do vetor w.
Como w=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-5\end{pmatrix}, temos \alpha=3 e \beta=-5. Portanto