Exercício 6. Em cada item a seguir, determine o contradomínio C que torna a função inversível e exiba a função inversa.
f:\left[-\frac{1}{4},+\infty\right) \rightarrow C dada por 2 x^{2}+x-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f:\left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right)\to C,\qquad f(x)=2x^{2}+x-3.
O que precisamos encontrar:
  1. O contradomínio C que torna f inversível (ou seja, o menor conjunto C igual ao conjunto imagem de f sobre o domínio indicado).
  2. A função inversa f^{-1} explicitada (a fórmula que recupera x a partir de um valor em C).
Informações entregues pelo enunciado: o domínio é \left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right) e a lei é 2x^{2}+x-3. A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos entender o comportamento da parábola g(x)=2x^{2}+x-3. Para um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c com a>0 temos uma parábola que abre para cima e tem um único ponto mínimo (o vértice). O x-do-vértice é dado por
x_{v}=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=2 e b=1, portanto
x_{v}=-\frac{1}{2\cdot 2}=-\frac{1}{4}.
Ou seja, o vértice está exatamente no início do nosso domínio \left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right).

Passo 3

Calculemos o valor da função no vértice (isto será o mínimo da função, pois a=2>0):
f\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=2\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}+\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)-3.
Faço as contas passo a passo:
\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{16},
2\cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{8},
\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{8}-\tfrac{2}{8}=-\tfrac{1}{8},
-\tfrac{1}{8}-3=-\tfrac{1}{8}-\tfrac{24}{8}=-\tfrac{25}{8}.
Portanto
f\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=-\tfrac{25}{8}.

Passo 4

Explico por que a imagem de f sobre \left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right) é \left[-\tfrac{25}{8},+\infty\right). Como a=2>0, a parábola atinge um mínimo no vértice e a função cresce quando x aumenta para além do vértice. Logo, sobre o intervalo \left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right) temos crescimento (monotonicidade crescente), e o menor valor é f(-\tfrac{1}{4})=-\tfrac{25}{8}. Assim a imagem (contradomínio mínimo que faz f sobrejetora) é
C=\left[-\tfrac{25}{8},+\infty\right).

Passo 5

Agora vamos obter explicitamente a inversa. Começamos escrevendo y=f(x) e resolvendo para x:
y=2x^{2}+x-3.
Reescrevendo como equação quadrática em x:
2x^{2}+x-(3+y)=0.
Aqui usamos a fórmula quadrática geral: para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Passo 6

Aplicando a fórmula, com a=2, b=1, c=-(3+y), o discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1-4\cdot 2\cdot\bigl(-(3+y)\bigr)=1+8(3+y)=25+8y.
Observação: para que exista raiz real precisamos de \Delta\ge 0, ou seja 25+8y\ge 0, isto é y\ge -\tfrac{25}{8} — exatamente o limite inferior que encontramos para C. As soluções para x são
x=\frac{-1\pm\sqrt{25+8y}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{8y+25}}{4}.

Passo 7

Precisamos escolher o sinal \pm que corresponde à inversa no nosso domínio x\ge -\tfrac{1}{4}. Note que \sqrt{8y+25}\ge 0. Compare as duas raízes:
x_{+}=\frac{-1+\sqrt{8y+25}}{4},\qquad x_{-}=\frac{-1-\sqrt{8y+25}}{4}.
Para qualquer y\ge -\tfrac{25}{8} temos \sqrt{8y+25}\ge 0, então x_{+}\ge x_{-}. Verificamos que em y=-\tfrac{25}{8} (o valor mínimo) ambas coincidem em -\tfrac{1}{4}. Para y>-\tfrac{25}{8} temos \sqrt{8y+25}>0, logo x_{+}>x_{-}. Como o nosso domínio exige x\ge -\tfrac{1}{4}, precisamos da raiz maior, isto é o sinal +. Assim a inversa é dada por
f^{-1}(y)=\frac{-1+\sqrt{8y+25}}{4},
com y variando em C=\left[-\tfrac{25}{8},+\infty\right).

Passo 8

Para conferir rapidamente: pegue x=0. Então f(0)=-3. Aplicando a inversa,
f^{-1}(-3)=\frac{-1+\sqrt{8(-3)+25}}{4}=\frac{-1+\sqrt{-24+25}}{4}=\frac{-1+1}{4}=0,
ok — recuperamos x=0. Isso confirma a escolha do ramo correto.

Resposta

C=\left[-\tfrac{25}{8},+\infty\right)\n
f^{-1}:\left[-\tfrac{25}{8},+\infty\right)\to\left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right),\qquad f^{-1}(y)=\frac{-1+\sqrt{8y+25}}{4}.

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