Exercício 6. Em cada item a seguir, determine o contradomínio
que torna a função inversível e exiba a função inversa.
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função
O que precisamos encontrar:
- O contradomínio
que torna inversível (ou seja, o menor conjunto igual ao conjunto imagem de sobre o domínio indicado). - A função inversa
explicitada (a fórmula que recupera a partir de um valor em ).
Informações entregues pelo enunciado: o domínio é
e a lei é
. A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos entender o comportamento da parábola
. Para um polinômio quadrático
com
temos uma parábola que abre para cima e tem um único ponto mínimo (o vértice). O
-do-vértice é dado por
Aqui
e
, portanto
Ou seja, o vértice está exatamente no início do nosso domínio
.
Passo 3
Calculemos o valor da função no vértice (isto será o mínimo da função, pois
):
Faço as contas passo a passo:
Portanto
Passo 4
Explico por que a imagem de
sobre
é
. Como
, a parábola atinge um mínimo no vértice e a função cresce quando
aumenta para além do vértice. Logo, sobre o intervalo
temos crescimento (monotonicidade crescente), e o menor valor é
. Assim a imagem (contradomínio mínimo que faz
sobrejetora) é
Passo 5
Agora vamos obter explicitamente a inversa. Começamos escrevendo
e resolvendo para
:
Reescrevendo como equação quadrática em
:
Aqui usamos a fórmula quadrática geral: para
as raízes são
Passo 6
Aplicando a fórmula, com
,
,
, o discriminante é
Observação: para que exista raiz real precisamos de
, ou seja
, isto é
— exatamente o limite inferior que encontramos para
. As soluções para
são
Passo 7
Precisamos escolher o sinal
que corresponde à inversa no nosso domínio
. Note que
. Compare as duas raízes:
Para qualquer
temos
, então
. Verificamos que em
(o valor mínimo) ambas coincidem em
. Para
temos
, logo
. Como o nosso domínio exige
, precisamos da raiz maior, isto é o sinal
. Assim a inversa é dada por
com
variando em
.
Passo 8
Para conferir rapidamente: pegue
. Então
. Aplicando a inversa,
ok — recuperamos
. Isso confirma a escolha do ramo correto.