Exercício 8. Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gere o subespaço vetorial W do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) indicado.
W \doteq\{(x, y, z) \in V ; x-2 y=0\} e V \doteq \mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede um subconjunto finito S\subset V=\mathbb{R}^3 tal que \mathrm{Span}(S)=W, onde
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x-2y=0\}.
O conteúdo usado será a parametrização de subespaços definidos por equações lineares e o conceito de geradores (span).

Passo 2

A condição x-2y=0 implica
x = 2y.
Logo, um vetor genérico de W pode ser escrito como
(x,y,z) = (2y,y,z) = y\,(2,1,0) \;+\; z\,(0,0,1),
onde y,z\in\mathbb{R}.

Passo 3

Como todo vetor de W é combinação linear de (2,1,0) e (0,0,1), basta tomar
S = \bigl\{(2,1,0),\,(0,0,1)\bigr\}.
Este conjunto é finito e gera exatamente W.

Resposta

S = \{(2,1,0),\,(0,0,1)\}.

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