Exercício 10. Obtenha o subconjunto formado por vetores do espaço vetorial real ( mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot ), que geram os seguintes subespaços:
W \doteq\left\{p \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) ; p^{\prime \prime}(t)=0\right., para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\};

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W = \{\,p\in\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) : p''(t)=0\\ \text{para todo }t\in\mathbb{R}\}
ou seja, todos os polinômios de grau até 3 cuja segunda derivada seja nula. Para resolver, vamos escrever um polinômio genérico de grau <=3 e impor p''(t)=0.

Passo 2

Escrevendo um polinômio geral em \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}):
p(t) = a_{3}t^{3} + a_{2}t^{2} + a_{1}t + a_{0},
com a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{R}. Agora calculamos a segunda derivada.

Passo 3

A segunda derivada é
p''(t) = \frac{d^{2}}{dt^{2}}\bigl(a_{3}t^{3} + a_{2}t^{2} + a_{1}t + a_{0}\bigr) = 6a_{3}\,t + 2a_{2}.
Para ter p''(t)=0 para todo t, precisamos que os coeficientes de t e da parte constante sejam zero: 6a_{3}=0 e 2a_{2}=0, logo a_{3}=0 e a_{2}=0.

Passo 4

Com a_{3}=a_{2}=0, o polinômio fica
p(t)=a_{1}t + a_{0}.
Portanto
W = \{\,a_{1}t + a_{0} : a_{0},a_{1}\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{1,\;t\}.

Resposta

\{\,1,\;t\}

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