Exercício 8. Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gere o subespaço vetorial W do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) indicado.
W \doteq\left\{p \in V ; p^{\prime}(t)=0\right., para \left.t \in \mathbb{R}\right\} e V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede um subconjunto finito S\subset V que gere o subespaço
W = \bigl\{\,p\in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) \mid p'(t)=0 \text{ para todo }t\in\mathbb{R}\bigr\},
onde \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau <=3, com as operações usuais.

Passo 2

Para p\in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), escrever
p(t)=a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}.
A condição p'(t)=0 para todo t implica
p'(t)=3a_{3}t^{2}+2a_{2}t+a_{1}\equiv 0
como polinômio. Logo 3a_{3}=0, 2a_{2}=0 e a_{1}=0, de onde a_{3}=a_{2}=a_{1}=0.

Passo 3

Concluímos que todo p\in W é da forma
p(t)=a_{0},
isto é, um polinômio constante.

Passo 4

Qualquer polinômio constante pode ser escrito como múltiplo escalar de 1. Portanto, o conjunto
S=\{\,1\}
gera W, pois \forall p\in W, existe a_{0}\in\mathbb{R} tal que p(t)=a_{0}\cdot 1.

Resposta

S=\{\,1\}.

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