Exercício 9: Para cada um dos seguintes sistemas de equações, encontre as matrizes associadas A, \mathrm{x} e \mathbf{b}, ache a inversa de A, e use-a para resolver o sistema.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & =0 \\\ x_{2}+4 x_{3} & =-1 \\\\ 5 x_{1}+6 x_{2} & =1 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0,\\\ x_{2}+4x_{3}=-1,\\\\ 5x_{1}+6x_{2}=1, \end{cases}
que é um sistema linear 3\times3. O conteúdo é inversão de matriz e resolução de sistemas usando
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Vamos precisar montar as matrizes associadas, calcular \det(A), achar A^{-1} (pelo método da adjunta) e, por fim, multiplicar por \mathbf{b}.

Passo 2

Definimos as matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&4\\\ 6&0\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0&4\\\ 5&0\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 5&6\end{pmatrix}
=1\,(1\cdot0-4\cdot6) -2\,(0\cdot0-4\cdot5) +3\,(0\cdot6-1\cdot5) =-24-2(-20)+3(-5) =-24+40-15=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.

Passo 4

Calculamos a matriz de cofatores C, depois a adjunta \mathrm{adj}(A)=C^{T}, e finalmente
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A).
Os cofatores são
C=\begin{pmatrix} -24 & 20 & -5\\\\ 18 & -15& 4\\\\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix},
logo
A^{-1} =C^{T} =\begin{pmatrix} -24 &18 &5\\\\ 20 &-15&-4\\\\ -5 &4 &1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Fazendo o produto:
\begin{pmatrix} x_{1}\x_{2}\x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 &18 &5\\\\ 20 &-15&-4\\\\ -5 &4 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24\cdot0+18(-1)+5\cdot1\\\\ 20\cdot0-15(-1)-4\cdot1\\\\ -5\cdot0+4(-1)+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-13\\\ 11\\\ -3\end{pmatrix}.

Resposta

A= \begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&1&4\\\ 5&6&0\end{pmatrix}, \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}, \mathbf{b}=(0,-1,1)^{T},
A^{-1}=\begin{pmatrix}-24&18&5\\\ 20&-15&-4\\\ -5&4&1\end{pmatrix},
e a solução é
(x_{1},x_{2},x_{3})=(-13,\,11,\,-3).

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