Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 4 \\\\ -2 & 1 & 3\end{array}\right].
Determine a aplicação linear T: R^{3} \rightarrow R^{2} cuja a matriz A nas bases B= \{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)\} \in R^{3} e B^{\prime}=\{(1,2),(0,-1)\} \in R^{2}.

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 cuja matriz relativa à base B=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)\} do domínio e à base B'=\{(1,2),(0,-1)\} do contradomínio seja
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4\\\\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Para obter T no sistema de coordenadas padrão, usaremos que
[T(v)]_{B'} \;=\; A\,[v]_B.

Passo 2

Dado v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3, escrevemos v na base B como
v=c_1(1,1,0)+c_2(1,0,1)+c_3(0,0,1).
Isso gera o sistema
(c_1+c_2,\;c_1,\;c_2+c_3)=(x,y,z),
cuja solução é
c_1=y,\quad c_2=x-y,\quad c_3=z-(x-y)=z-x+y.
Logo
[v]_B=\begin{pmatrix}y\x-y\z-x+y\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando a matriz A a esse vetor de coordenadas:
[T(v)]_{B'} =\;A\begin{pmatrix}y\x-y\z-x+y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot y +(-1)\cdot (x-y)+4\cdot(z-x+y)\\\\ -2\cdot y +1\cdot(x-y)+3\cdot(z-x+y) \end{pmatrix}.
Calculando cada componente:
primeira:
y -x +y +4z -4x+4y = -5x+6y+4z,
segunda:
-2y +x -y +3z -3x+3y = -2x+3z.
Portanto
[T(v)]_{B'}=\begin{pmatrix}-5x+6y+4z\\\ -2x+3z\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora expressamos T(v) no padrão de \mathbb{R}^2. Se \,(a,b)=[T(v)]_{B'}, então
T(v)=a\,(1,2)+b\,(0,-1)=(a,\;2a-b).
Aqui a=-5x+6y+4z e b=-2x+3z, logo
T(x,y,z)=\bigl(a,\;2a-b\bigr) =\bigl(-5x+6y+4z,\;2(-5x+6y+4z)-(-2x+3z)\bigr).

Passo 5

Simplificando a segunda componente:
2(-5x+6y+4z)+2x-3z =-10x+12y+8z+2x-3z =-8x+12y+5z.
Assim, em coordenadas padrão,
T(x,y,z)=\bigl(-5x+6y+4z,\;-8x+12y+5z\bigr).

Resposta

T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=\bigl(-5x+6y+4z,\;-8x+12y+5z\bigr).

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