Sejam W 1 e W 2 os subespaços de V associados, respectivamente aos autovalores \lambda 1 e \lambda 2 do operador linear T: V \rightarrow V. Prove que se V=W 1 \oplus W 2, então \lambda 1 e \lambda 2 são únicos autovalores de T.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V e um operador linear T:V\to V. Sabemos que \,W_1 é o subespaço próprio (autovetor) associado a \lambda_1 e \,W_2 é o subespaço próprio associado a \lambda_2,
e que
V = W_1 \oplus W_2.
Queremos mostrar que não existe nenhum outro valor \lambda tal que haja vetor não-nulo v\in V com T(v)=\lambda v.

Passo 2

Seja \lambda um autovalor qualquer de T, e v\neq 0 um autovetor associado, ou seja
T(v)=\lambda\,v.
Como V=W_1\oplus W_2, podemos escrever v de modo único como
v = x + y, \quad x\in W_1, \;y\in W_2.

Passo 3

Aplicando T em v, usando linearidade e a definição de subespaços próprios, obtemos
T(v) = T(x+y) = T(x) + T(y) = \lambda_1\,x \;+\;\lambda_2\,y.
Por outro lado, como v é autovetor de \lambda, também vale
T(v)=\lambda\,v =\lambda\,(x+y) =\lambda\,x + \lambda\,y.

Passo 4

Comparando as duas expressões de T(v), temos
\lambda_1\,x + \lambda_2\,y = \lambda\,x + \lambda\,y \;\;\Longrightarrow\;\; (\lambda_1-\lambda)\,x + (\lambda_2-\lambda)\,y = 0.
Como W_1\cap W_2=\{0\} e a soma é direta, a única forma de (\lambda_1-\lambda)\,x + (\lambda_2-\lambda)\,y = 0
é cada termo ser zero separadamente:
(\lambda_1-\lambda)\,x = 0 \quad\text{e}\quad (\lambda_2-\lambda)\,y = 0.
Para um autovetor v\neq 0 temos x e y não ambos nulos. Se, por exemplo, \lambda\neq\lambda_1 então forçosamente x=0. Se também \lambda\neq\lambda_2 então y=0. Assim, se \lambda não fosse igual nem a \lambda_1 nem a \lambda_2, teríamos x=y=0 e, consequentemente, v=0, contradizendo v\neq0.

Resposta

Os únicos valores possíveis de \lambda são \lambda_1 e \lambda_2. Portanto, \lambda_1 e \lambda_2 são todos os autovalores de T.

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