Sejam
os subespaços de
associados, respectivamente aos autovalores
e
do operador linear
. Prove que se
, então
são únicos autovalores de
.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
e um operador linear
. Sabemos que
é o subespaço próprio (autovetor) associado a
e
é o subespaço próprio associado a
,
e que
e que
Queremos mostrar que não existe nenhum outro valor
tal que haja vetor não-nulo
com
.
Passo 2
Seja
um autovalor qualquer de
, e
um autovetor associado, ou seja
Como
, podemos escrever
de modo único como
Passo 3
Aplicando
em
, usando linearidade e a definição de subespaços próprios, obtemos
Por outro lado, como
é autovetor de
, também vale
Passo 4
Comparando as duas expressões de
, temos
Como
e a soma é direta, a única forma de
é cada termo ser zero separadamente:
é cada termo ser zero separadamente:
Para um autovetor
temos
e
não ambos nulos. Se, por exemplo,
então forçosamente
. Se também
então
. Assim, se
não fosse igual nem a
nem a
, teríamos
e, consequentemente,
, contradizendo
.
Resposta
Os únicos valores possíveis de
são
e
. Portanto,
e
são todos os autovalores de
.