Exercício 8. Em uma “caixa” possui bombons de diferentes sabores, mas todos embalados em uma mesma embalagem. Ou seja, só é possível saber qual é o sabor após abrir e experimentar o bombom. Sabe-se que há 10 bombons nesta caixa, sendo 3 de sabor chocolate, 5 de morango e 2 de baunilha. Realiza-se, sem reposição, o sorteio de dois bombons (sorteia-se o primeiro, deixa-o de fora e, depois, sorteia o segundo). Apresente o espaço amostral deste experimento.

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente o espaço amostral do experimento de retirar dois bombons sem reposição de uma caixa. Informações dadas pelo enunciado:
  • 10 bombons no total.
  • Sabores: 3 de chocolate, 5 de morango e 2 de baunilha.
  • Sorteia-se o primeiro bombom, deixa-se ele de fora (sem reposição) e depois sorteia-se o segundo.
  • Só se consegue identificar o sabor ao abrir o bombom (ou seja, as unidades são indistinguíveis exceto pelo sabor).
    A pergunta é: qual é o espaço amostral desse experimento?

Passo 2

O que é “espaço amostral” e como representá-lo aqui.
  • Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
  • Como o sorteio é feito em duas etapas (primeiro e segundo), a ordem importa: o resultado é o sabor do primeiro seguido do sabor do segundo. Então faz sentido representar cada resultado como um par ordenado (\text{sabor do 1º},\\ \text{sabor do 2º})ºº.
  • Vou usar símbolos curtos para os sabores: C = chocolate, M = morango, B = baunilha.
  • Observação sobre escolhas de representação: poderíamos também rotular individualmente os 10 bombons e listar pares de etiquetas (isso daria 10\times9=90 resultados distintos), mas como os bombons só se distinguem pelo sabor (e o enunciado enfatiza sabores), representar por pares de sabores é a forma natural e mais simples — é o que normalmente se espera para este tipo de questão.

Passo 3

Verificação de possibilidade de cada par ordenado.
  • Para um par (X,Y) ser possível é preciso que exista ao menos um bombom do sabor X para ser tirado primeiro e, após retirar esse, exista ao menos um bombom do sabor Y restante.
  • Temos 3 chocolates, 5 morangos e 2 baunilhas. Como cada sabor tem pelo menos 2 unidades exceto que na verdade todos têm pelo menos 2 (chocolate 3, morango 5, baunilha 2), qualquer par formado por dois sabores iguais também é possível (por exemplo (B,B) é possível porque há 2 baunilhas).
  • Portanto não há par de sabores impossível: todo par ordenado cujas componentes pertençam a \{C,M,B\} é um resultado possível.

Passo 4

Construção explícita do espaço amostral.
  • Todos os resultados possíveis são os pares ordenados formados pelos sabores na ordem (primeiro, segundo). Listando-os:
(C,C),\\ (C,M),\\ (C,B),\\ (M,C),\\ (M,M),\\ (M,B),\\ (B,C),\\ (B,M),\\ (B,B).
  • Podemos então escrever o espaço amostral S como o conjunto desses pares. O número de resultados possíveis (em termos de sabores ordenados) é |S|=9.

Resposta

S=\{(C,C),\\ (C,M),\\ (C,B),\\ (M,C),\\ (M,M),\\ (M,B),\\ (B,C),\\ (B,M),\\ (B,B)\}

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