Exercício 1.
Para calcular \int e^{5 x} d x, fazemos u=5 x. Então, d u=5 d x e a nossa integral fica:
\begin{aligned} \int e^{5 x} d x & =\frac{1}{5} \int e^{5 x} 5 d x \\\ & =\frac{1}{5} \int e^{u} d u \\\ & =\frac{1}{5} e^{u}+C \\\ & =\frac{1}{5} e^{5 x}+C \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{5x}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois dentro do expoente há uma função linear de x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x,
cujo diferencial é
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u:
\int e^{5x}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\,\int e^{u}\,du.
Como sabemos que
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
temos
\frac{1}{5}\,\int e^{u}\,du = \frac{1}{5}\,e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à variável original x usando u=5x, obtemos
\frac{1}{5}\,e^{u} + C = \frac{1}{5}\,e^{5x} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{5x} + C

Exercícios relacionados