Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1 / 2} \operatorname{arcsen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1/2} \operatorname{arcsen}(x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos produto de função elementar \,dx com a função \operatorname{arcsen}(x).

Passo 2

Escolhemos em \displaystyle \int u\,dv:
u = \operatorname{arcsen}(x), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes,
\int \operatorname{arcsen}(x)\,dx = x\,\operatorname{arcsen}(x) - \int x \,\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int x \,\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx,
fazemos a substituição
t = 1 - x^2 \;\Longrightarrow\; dt = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = -\frac{1}{2}\,dt.
Assim,
\int x \,\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}}\;\Bigl(-\frac{1}{2}\,dt\Bigr) = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\frac{1}{2}\cdot 2\,t^{1/2} = -\sqrt{t} = -\sqrt{1 - x^2}.

Passo 5

Portanto, uma primitiva de \operatorname{arcsen}(x) é
F(x) = x\,\operatorname{arcsen}(x) - \bigl(-\sqrt{1 - x^2}\bigr) = x\,\operatorname{arcsen}(x) + \sqrt{1 - x^2}.
Logo,
\int_{0}^{1/2} \operatorname{arcsen}(x)\,dx = F\bigl(\tfrac12\bigr) - F(0).

Passo 6

Calculando em x=\tfrac12 e em x=0:
F\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac12\cdot\operatorname{arcsen}\bigl(\tfrac12\bigr) + \sqrt{1 - \tfrac14} = \frac12\cdot\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2},
F(0) = 0\cdot\operatorname{arcsen}(0)+\sqrt{1-0} = 1.
Logo,
\int_{0}^{1/2} \operatorname{arcsen}(x)\,dx = \bigl(\tfrac{\pi}{12} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) - 1.

Resposta

\int_{0}^{1/2} \operatorname{arcsen}(x)\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1.

Exercícios relacionados