Exercício 1. Calcular
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais expressões temos que analisar. São cinco limites a calcular:
- Limite (a):
. - Limite (b):
. - Limite (c):
(aqui é um parâmetro; o limite deve ser expresso em termos de , com casos se necessário). - Limite (d):
. - Limite (e):
.
Não resolvo nada ainda; só deixei as expressões claras para não nos perder.
Passo 2
Limite (a):
.
- Primeiro tento substituir
diretamente para ver se dá valor finito:
logo a forma é
, ou seja, o numerador é diferente de zero e o denominador vai a zero. Isso indica comportamento infinito (discontinuidade do tipo assíntota vertical).
- Determino os limites laterais para saber se há sinal diferente:
- Se
então (denominador negativo) e o numerador está próximo de . Então
- Se
então e o numerador permanece positivo, então
- Como os limites laterais são diferentes (um é
e o outro ), o limite bilateral não existe (tem comportamento infinito sem coincidência).
Passo 3
Limite (b):
.
- Substituição direta em
:
forma indeterminada
. Usamos então uma técnica clássica: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a raiz.
- Multiplico por
:
- Uso que
e . Então o denominador vira . Portanto
- Agora fatoro
e cancelo o fator (isso é legítimo para ; como estamos fazendo limite, podemos simplificar a expressão para perto de , ):
- Agora faço substituição direta
:
logo o limite é
Passo 4
Limite (c):
.
- Substituo
para ver a forma:
forma indeterminada
. Vamos fatorar numerador e denominador como polinômios em
, tratando
como constante.
- Factorização do numerador
.
Busco raízes resolvendo. O discriminante é
As raízes são
Isso dá
e
. Logo
- Factorização do denominador
.
O discriminante é
As raízes são
isto é
e
. Logo
- Substituindo as fatorações:
Para
cancela-se
e obtemos a função equivalente numa vizinhança de
:
- Assim o limite (para
fixo, desde que não crie problemas) é obtido substituindo :
desde que o denominador da expressão final não seja zero, i.e.
.
- Caso especial: se
então a expressão simplificada seria e ao tomar o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a , então o limite não é um número finito (tende para dependendo do lado), logo o limite bilateral não existe. Portanto:
- Para
: limite é . - Para
: limite não existe (comportamento infinito).
Passo 5
Limite (d):
.
-
Substituição direta dá forma
porque em temos e . Vamos eliminar as raízes com conjugados, passo a passo. -
Denoto
e apenas para clareza; a expressão é . Primeiro racionalizo o numerador multiplicando por (ou, de forma equivalente, multiplicamos numerador e denominador por ):
Mas
, então
. Assim
- Agora note que
. Para tirar o fator do denominador, racionalizo o fator multiplicando numerador e denominador por :
- Como
, tem-se . Portanto o numerador contém o fator e o denominador contém . Substituindo:
- Agora a expressão está livre da indeterminação, então faço
diretamente:
logo o limite vale
Passo 6
Limite (e):
.
- Primeiro simplifico o numerador:
. Substituição direta dá , então racionalizo o denominador multiplicando por :
- Como
, o denominador fica
Então
- Note que
. Substituindo:
Agora não há mais indeterminação e posso substituir
.
- Fazendo
temos . Então o limite é
Resposta
Não existe (limites laterais:
e
)
(para
; se
o limite não existe)