Exercício 1. Calcular
  • \lim _{x \rightarrow-7} \frac{2 x^{2}+1}{x+7}
  • \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+7}-4}
  • \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{2}-(a-1) x-a}{x^{2}-(a-2) x-2 a}
  • \lim _{x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}
  • \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x-6}{1-\sqrt{4 x-7}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais expressões temos que analisar. São cinco limites a calcular:
  • Limite (a): \displaystyle \lim_{x\to -7}\frac{2x^{2}+1}{x+7}.
  • Limite (b): \displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+7}-4}.
  • Limite (c): \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{2}-(a-1)x-a}{x^{2}-(a-2)x-2a} (aqui a é um parâmetro; o limite deve ser expresso em termos de a, com casos se necessário).
  • Limite (d): \displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}.
  • Limite (e): \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3x-6}{1-\sqrt{4x-7}}.
Não resolvo nada ainda; só deixei as expressões claras para não nos perder.

Passo 2

Limite (a): \displaystyle \lim_{x\to -7}\frac{2x^{2}+1}{x+7}.
  1. Primeiro tento substituir x=-7 diretamente para ver se dá valor finito:
2(-7)^{2}+1=2\cdot49+1=98+1=99, \qquad (-7)+7=0,
logo a forma é \dfrac{99}{0}, ou seja, o numerador é diferente de zero e o denominador vai a zero. Isso indica comportamento infinito (discontinuidade do tipo assíntota vertical).
  1. Determino os limites laterais para saber se há sinal diferente:
  • Se x\to -7^{-} então x+7<0 (denominador negativo) e o numerador está próximo de 99>0. Então
\lim_{x\to -7^{-}}\frac{2x^{2}+1}{x+7}=-\infty.
  • Se x\to -7^{+} então x+7>0 e o numerador permanece positivo, então
\lim_{x\to -7^{+}}\frac{2x^{2}+1}{x+7}=+\infty.
  1. Como os limites laterais são diferentes (um é -\infty e o outro +\infty), o limite bilateral não existe (tem comportamento infinito sem coincidência).

Passo 3

Limite (b): \displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+7}-4}.
  1. Substituição direta em x=-3:
x+3=0,\qquad \sqrt{(-3)^{2}+7}-4=\sqrt{9+7}-4=\sqrt{16}-4=4-4=0,
forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Usamos então uma técnica clássica: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a raiz.
  1. Multiplico por \dfrac{\sqrt{x^{2}+7}+4}{\sqrt{x^{2}+7}+4}:
\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+7}-4}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+7}+4}{\sqrt{x^{2}+7}+4} =\frac{(x+3)\big(\sqrt{x^{2}+7}+4\big)}{(\sqrt{x^{2}+7})^{2}-4^{2}}.
  1. Uso que (\sqrt{x^{2}+7})^{2}=x^{2}+7 e 4^{2}=16. Então o denominador vira x^{2}+7-16=x^{2}-9. Portanto
\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+7}-4} =\frac{(x+3)\big(\sqrt{x^{2}+7}+4\big)}{x^{2}-9}.
  1. Agora fatoro x^{2}-9=(x-3)(x+3) e cancelo o fator x+3 (isso é legítimo para x\neq -3; como estamos fazendo limite, podemos simplificar a expressão para x perto de -3, x\neq -3):
\frac{(x+3)\big(\sqrt{x^{2}+7}+4\big)}{(x-3)(x+3)} =\frac{\sqrt{x^{2}+7}+4}{x-3}.
  1. Agora faço substituição direta x=-3:
\sqrt{(-3)^{2}+7}+4=\sqrt{16}+4=4+4=8, \qquad x-3=-3-3=-6,
logo o limite é
\lim_{x\to -3}\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+7}-4}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}.

Passo 4

Limite (c): \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{2}-(a-1)x-a}{x^{2}-(a-2)x-2a}.
  1. Substituo x=a para ver a forma:
\text{num} = a^{2}-(a-1)a-a = a^{2}-a^{2}+a-a=0, \quad \text{den} = a^{2}-(a-2)a-2a = a^{2}-a^{2}+2a-2a=0,
forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos fatorar numerador e denominador como polinômios em x, tratando a como constante.
  1. Factorização do numerador x^{2}-(a-1)x-a.
    Busco raízes resolvendo x^{2}-(a-1)x-a=0. O discriminante é
\Delta_{N}=(a-1)^{2}+4a=(a^{2}-2a+1)+4a=a^{2}+2a+1=(a+1)^{2}.
As raízes são
x=\frac{(a-1)\pm (a+1)}{2}.
Isso dá x=a e x=-1. Logo
x^{2}-(a-1)x-a=(x-a)(x+1).
  1. Factorização do denominador x^{2}-(a-2)x-2a.
    O discriminante é
\Delta_{D}=(a-2)^{2}+8a=(a^{2}-4a+4)+8a=a^{2}+4a+4=(a+2)^{2}.
As raízes são
x=\frac{(a-2)\pm (a+2)}{2},
isto é x=a e x=-2. Logo
x^{2}-(a-2)x-2a=(x-a)(x+2).
  1. Substituindo as fatorações:
\frac{x^{2}-(a-1)x-a}{x^{2}-(a-2)x-2a} =\frac{(x-a)(x+1)}{(x-a)(x+2)}.
Para x\neq a cancela-se (x-a) e obtemos a função equivalente numa vizinhança de x=a:
\frac{x+1}{x+2}.
  1. Assim o limite (para a fixo, desde que não crie problemas) é obtido substituindo x=a:
\lim_{x\to a}\frac{x^{2}-(a-1)x-a}{x^{2}-(a-2)x-2a}=\frac{a+1}{a+2},
desde que o denominador da expressão final não seja zero, i.e. a+2\neq 0.
  1. Caso especial: se a=-2 então a expressão simplificada seria \dfrac{x+1}{x+2} e ao tomar x\to -2 o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a -1, então o limite não é um número finito (tende para \pm\infty dependendo do lado), logo o limite bilateral não existe. Portanto:
  • Para a\neq -2: limite é \dfrac{a+1}{a+2}.
  • Para a=-2: limite não existe (comportamento infinito).

Passo 5

Limite (d): \displaystyle \lim_{x\to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}.
  1. Substituição direta dá forma \tfrac{0}{0} porque em x=4 temos \sqrt{5+4}=3 e \sqrt{5-4}=1. Vamos eliminar as raízes com conjugados, passo a passo.
  2. Denoto A=\sqrt{5+x} e B=\sqrt{5-x} apenas para clareza; a expressão é \dfrac{3-A}{1-B}. Primeiro racionalizo o numerador multiplicando por 3+A (ou, de forma equivalente, multiplicamos numerador e denominador por 3+A):
\frac{3-A}{1-B}\cdot\frac{3+A}{3+A} =\frac{9-A^{2}}{(1-B)(3+A)}.
Mas A^{2}=5+x, então 9-A^{2}=9-(5+x)=4-x. Assim
\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=\frac{4-x}{(1-\sqrt{5-x})(3+\sqrt{5+x})}.
  1. Agora note que 4-x=-(x-4). Para tirar o fator x-4 do denominador, racionalizo o fator 1-\sqrt{5-x} multiplicando numerador e denominador por 1+\sqrt{5-x}:
\frac{4-x}{(1-\sqrt{5-x})(3+\sqrt{5+x})}\cdot\frac{1+\sqrt{5-x}}{1+\sqrt{5-x}} =\frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{\big(1-(\sqrt{5-x})^{2}\big)\,(3+\sqrt{5+x})}.
  1. Como (\sqrt{5-x})^{2}=5-x, tem-se 1-(\sqrt{5-x})^{2}=1-(5-x)=x-4. Portanto o numerador contém o fator 4-x e o denominador contém x-4. Substituindo:
\frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{(x-4)(3+\sqrt{5+x})} =\frac{-(x-4)(1+\sqrt{5-x})}{(x-4)(3+\sqrt{5+x})} =-\frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}.
  1. Agora a expressão está livre da indeterminação, então faço x\to 4 diretamente:
1+\sqrt{5-4}=1+1=2,\qquad 3+\sqrt{5+4}=3+3=6,
logo o limite vale
-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}.

Passo 6

Limite (e): \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3x-6}{1-\sqrt{4x-7}}.
  1. Primeiro simplifico o numerador: 3x-6=3(x-2). Substituição direta x=2 0/0, então racionalizo o denominador multiplicando por 1+\sqrt{4x-7}:
\frac{3(x-2)}{1-\sqrt{4x-7}}\cdot\frac{1+\sqrt{4x-7}}{1+\sqrt{4x-7}} =\frac{3(x-2)\big(1+\sqrt{4x-7}\big)}{1-(\sqrt{4x-7})^{2}}.
  1. Como (\sqrt{4x-7})^{2}=4x-7, o denominador fica
1-(4x-7)=8-4x=4(2-x).
Então
\frac{3(x-2)\big(1+\sqrt{4x-7}\big)}{4(2-x)}.
  1. Note que x-2=-(2-x). Substituindo:
\frac{3\big(- (2-x)\big)\big(1+\sqrt{4x-7}\big)}{4(2-x)} =-\frac{3\big(1+\sqrt{4x-7}\big)}{4}.
Agora não há mais indeterminação e posso substituir x=2.
  1. Fazendo x\to 2 temos \sqrt{4\cdot 2-7}=\sqrt{8-7}=\sqrt{1}=1. Então o limite é
-\frac{3(1+1)}{4}=-\frac{3\cdot 2}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}.

Resposta

Não existe (limites laterais: -\infty e +\infty)
-\dfrac{4}{3}
\dfrac{a+1}{a+2} (para a\neq -2; se a=-2 o limite não existe)
-\dfrac{1}{3}
-\dfrac{3}{2}

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