Use o Teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva
.
onde
é a curva obtida como interseção da esfera
com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral de linha
onde
é a curva de interseção da esfera
com o plano
, usando o Teorema de Stokes, e também pedir para indicar a orientação da curva
.
Informações relevantes dadas:
- A curva
é o círculo formado por . - O campo de vetores associado à integral de linha é
. - O enunciado sugere que o valor é
, e devemos verificar (ou demonstrar) usando Stokes.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (forma que vamos usar):
onde:
-
é a fronteira orientada de uma superfície , -
é o versor normal (orientado) à superfície , -
é o elemento de área da superfície.
Vou aplicar o Teorema de Stokes escolhendo como superfícieo disco plano contido em e limitado pelo círculo — isto é uma escolha natural e simples porque a própria curva está em um plano.
Passo 3
Calcular o rotacional do campo
. Pelo determinante padrão (com derivadas parciais),
Calculando cada derivada:
Portanto
Passo 4
Escolha da superfície
: o disco plano contido no plano
e interior ao círculo
.
O vetor normal (não unitário) ao plano é
. O versor normal unitário (escolhendo a orientação “para cima” na direção de
) é
O vetor normal (não unitário) ao plano
(A escolha do sinal de
determina a orientação positiva de
pela regra da mão direita: olhando na direção de
, a orientação positiva é a que torna a superfície à sua esquerda.)
Passo 5
Como
é constante, a integral de superfície simplifica para
Calcular o produto escalar:
Como o produto escalar é
, a integral de superfície é zero independentemente da área de
:
Pelo Teorema de Stokes segue que
Passo 6
Interpretação e orientação de
:
- A orientação de
está ligada à escolha do versor normal pela regra da mão direita: se escolhermos , então a orientação positiva de é a que aparece como “contra-horária” quando se olha na direção de . Se escolhermos o versor normal oposto, a orientação de inverte-se. - No caso presente o valor da integral é
, que é invariante pela inversão da orientação (pois mudar a orientação apenas troca o sinal do integral, e aponta para si mesmo). Portanto, embora possamos indicar que a orientação associada ao versor é a orientação “padrão” (contra-horária vista nessa direção), o valor da integral não depende da escolha: o integral fechado vale zero.
Observação adicional (importante): o valor sugerido no enunciado,
, difere do resultado correto
. O cálculo com o Teorema de Stokes mostrado acima demonstra que o valor da integral é zero, por isso a expressão fornecida no enunciado não está correta para o campo e a curva dados.