Use o Teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva \gamma.
\oint_{\gamma}(3 x+z) d x+(x+4 y) d y+(2 x+y) d z=-\frac{3 \sqrt{2} \pi a^{2}}{4}
onde \gamma é a curva obtida como interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com o plano y+z=a.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral de linha
\oint_{\gamma}(3 x+z)\,d x+(x+4 y)\,d y+(2 x+y)\,d z
onde \gamma é a curva de interseção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} com o plano y+z=a, usando o Teorema de Stokes, e também pedir para indicar a orientação da curva \gamma.
Informações relevantes dadas:
  • A curva \gamma é o círculo formado por \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},\; y+z=a\}.
  • O campo de vetores associado à integral de linha é \mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(3x+z,\; x+4y,\; 2x+y\bigr).
  • O enunciado sugere que o valor é -\dfrac{3\sqrt{2}\,\pi a^{2}}{4}, e devemos verificar (ou demonstrar) usando Stokes.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (forma que vamos usar):
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde:
  • \gamma=\partial S é a fronteira orientada de uma superfície S,
  • \mathbf{n} é o versor normal (orientado) à superfície S,
  • dS é o elemento de área da superfície.
    Vou aplicar o Teorema de Stokes escolhendo como superfície S o disco plano contido em y+z=a e limitado pelo círculo \gamma — isto é uma escolha natural e simples porque a própria curva está em um plano.

Passo 3

Calcular o rotacional do campo \mathbf{F}. Pelo determinante padrão (com derivadas parciais),
\nabla\times\mathbf{F}=\Biggl(\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)-\frac{\partial}{\partial z}(x+4y),\; \frac{\partial}{\partial z}(3x+z)-\frac{\partial}{\partial x}(2x+y),\; \frac{\partial}{\partial x}(x+4y)-\frac{\partial}{\partial y}(3x+z)\Biggr).
Calculando cada derivada:
\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=1,\quad \frac{\partial}{\partial z}(x+4y)=0,
\frac{\partial}{\partial z}(3x+z)=1,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2x+y)=2,
\frac{\partial}{\partial x}(x+4y)=1,\quad \frac{\partial}{\partial y}(3x+z)=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=(1,\,-1,\,1).

Passo 4

Escolha da superfície S: o disco plano contido no plano y+z=a e interior ao círculo \gamma.
O vetor normal (não unitário) ao plano y+z=a é (0,1,1). O versor normal unitário (escolhendo a orientação “para cima” na direção de (0,1,1)) é
\hat{\mathbf{n}}=\frac{(0,1,1)}{\sqrt{2}}.
(A escolha do sinal de \hat{\mathbf{n}} determina a orientação positiva de \gamma pela regra da mão direita: olhando na direção de \hat{\mathbf{n}}, a orientação positiva é a que torna a superfície à sua esquerda.)

Passo 5

Como \nabla\times\mathbf{F} é constante, a integral de superfície simplifica para
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = \bigl((\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\bigr)\cdot \text{Area}(S).
Calcular o produto escalar:
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}=(1,-1,1)\cdot\frac{(0,1,1)}{\sqrt{2}} =\frac{0-1+1}{\sqrt{2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0.
Como o produto escalar é 0, a integral de superfície é zero independentemente da área de S:
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{n}}\,dS = 0.
Pelo Teorema de Stokes segue que
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

Passo 6

Interpretação e orientação de \gamma:
  • A orientação de \gamma está ligada à escolha do versor normal \hat{\mathbf{n}} pela regra da mão direita: se escolhermos \hat{\mathbf{n}}=\dfrac{(0,1,1)}{\sqrt{2}}, então a orientação positiva de \gamma é a que aparece como “contra-horária” quando se olha na direção de \hat{\mathbf{n}}. Se escolhermos o versor normal oposto, a orientação de \gamma inverte-se.
  • No caso presente o valor da integral é 0, que é invariante pela inversão da orientação (pois mudar a orientação apenas troca o sinal do integral, e 0 aponta para si mesmo). Portanto, embora possamos indicar que a orientação associada ao versor \dfrac{(0,1,1)}{\sqrt{2}} é a orientação “padrão” (contra-horária vista nessa direção), o valor da integral não depende da escolha: o integral fechado vale zero.
Observação adicional (importante): o valor sugerido no enunciado, -\dfrac{3\sqrt{2}\,\pi a^{2}}{4}, difere do resultado correto 0. O cálculo com o Teorema de Stokes mostrado acima demonstra que o valor da integral é zero, por isso a expressão fornecida no enunciado não está correta para o campo e a curva dados.

Resposta

\displaystyle 0
\displaystyleOrientação: \gamma é percorrida no sentido contra-horário quando vista na direção do vetor normal \dfrac{(0,1,1)}{\sqrt{2}} (regra da mão direita).

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