Exercício 0.2 Calcule
(2+\sqrt{2} i)(1-i);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto dos dois números complexos
(2+\sqrt{2}\,i)(1-i).
Informações dadas:
  • Primeiro fator: 2+\sqrt{2}\,i.
  • Segundo fator: 1-i.
    A tarefa é multiplicar esses dois números e escrever o resultado na forma padrão a+bi.

Passo 2

Como multiplicar dois números complexos? Vou te lembrar a regra básica e mostrar de onde vem, passo a passo.
Um número complexo em forma algébrica tem a forma a+bi, onde:
  • a é a parte real,
  • b é a parte imaginária (coeficiente de i),
  • i é a unidade imaginária que satisfaz i^2=-1.
Se temos dois complexos (a+bi) e (c+di), multiplicamos usando a distributiva (ou FOIL):
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bc\,i+bdi^2.
Agora usamos i^2=-1 para transformar o último termo:
ac+adi+bc\,i+b d(-1)=ac - bd + (ad+bc)\,i.
Portanto a fórmula prática é:
(a+bi)(c+di)=\bigl(ac-bd\bigr)+\bigl(ad+bc\bigr)\,i.
Essa fórmula diz que a parte real do produto é ac-bd e a parte imaginária (coeficiente de i) é ad+bc.

Passo 3

Vamos identificar a,b,c,d nos nossos fatores:
  • No primeiro fator 2+\sqrt{2}\,i, temos a=2 e b=\sqrt{2}.
  • No segundo fator 1-i, temos c=1 e d=-1 (porque é 1+(-1)\,i).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula \bigl(ac-bd\bigr)+\bigl(ad+bc\bigr)\,i.
Calcule a parte real ac-bd:
ac = 2\cdot 1 = 2, \qquad bd = \sqrt{2}\cdot(-1) = -\sqrt{2},
ac-bd = 2 - (-\sqrt{2}) = 2+\sqrt{2}.
Calcule o coeficiente da parte imaginária ad+bc:
ad = 2\cdot(-1) = -2, \qquad bc = \sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2},
ad+bc = -2 + \sqrt{2} = \sqrt{2}-2.

Passo 5

Resumo dos componentes obtidos:
  • parte real = 2+\sqrt{2},
  • coeficiente da parte imaginária = \sqrt{2}-2.
Agora que você já viu como aplicar a fórmula e fez as contas separadas para parte real e imaginária, monta-se o número complexo final.

Resposta

(2+\sqrt{2})+(\sqrt{2}-2)\,i

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