Exercício 0.9 Calcule
“(1+i)^{500}”;

Passo 1

O problema pede para calcular (1+i)^{500}. A informação que temos é apenas a expressão complexa 1+i elevada à potência inteira 500. Não há outras condições ou imagens.

Passo 2

Vou escolher um método prático e rápido que dá conta do problema sem trigonometria pesada: reduzir potências usando identidades algébricas simples. A ideia é observar potências pequenas de 1+i (por exemplo (1+i)^2 e (1+i)^4) para obter uma base fácil de elevar depois. (Mais adiante eu mostro rapidamente a checagem pela forma polar, só para você ver que dá o mesmo resultado.)

Passo 3

Calcular (1+i)^2 diretamente, desenvolvendo o quadrado:
(1+i)^2 = 1^2 + 2\cdot1\cdot i + i^2.
Agora substituir i^2 = -1:
(1+i)^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i.

Passo 4

Usar o resultado anterior para obter (1+i)^4. Como (1+i)^4 = \big((1+i)^2\big)^2, substitui-se o que achamos:
(1+i)^4 = (2i)^2.
Calcular (2i)^2:
(2i)^2 = 4 i^2 = 4\cdot(-1) = -4.

Passo 5

Agora observe que 500 é múltiplo de 4. Escrever a potência como produto de potências de expoente 4:
500 = 4\cdot 125, \qquad\text{logo}\qquad (1+i)^{500} = \big((1+i)^4\big)^{125}.

Passo 6

Substituir (1+i)^4 = -4 na expressão acima:
(1+i)^{500} = (-4)^{125}.
Como 125 é ímpar, (-4)^{125} = -\,4^{125}. Além disso 4^{125} = (2^2)^{125} = 2^{250}. Portanto
(1+i)^{500} = -\,2^{250}.

Passo 7

Checagem rápida pela forma polar (opcional, só para ver o mesmo resultado): escrever 1+i em módulo e argumento. O módulo é
|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},
o argumento principal é \arg(1+i)=\tfrac{\pi}{4}. Pela fórmula de De Moivre:
(1+i)^{500} = \big(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\big)^{500} = (\sqrt{2})^{500} e^{i(500\pi/4)}.
Aqui (\sqrt{2})^{500} = 2^{250} e 500\pi/4 = 125\pi. Como e^{i125\pi}=e^{i\pi}=-1, obtém-se novamente
(1+i)^{500} = 2^{250}\cdot(-1) = -\,2^{250},
confirmando o resultado obtido antes.

Resposta

-2^{250}

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