Exercício 0.9 Calcule
“(1+i)^{500}”;
“(1+i)^{500}”;
Passo 1
O problema pede para calcular
. A informação que temos é apenas a expressão complexa
elevada à potência inteira
. Não há outras condições ou imagens.
Passo 2
Vou escolher um método prático e rápido que dá conta do problema sem trigonometria pesada: reduzir potências usando identidades algébricas simples. A ideia é observar potências pequenas de
(por exemplo
e
) para obter uma base fácil de elevar depois. (Mais adiante eu mostro rapidamente a checagem pela forma polar, só para você ver que dá o mesmo resultado.)
Passo 3
Calcular
diretamente, desenvolvendo o quadrado:
Agora substituir
:
Passo 4
Usar o resultado anterior para obter
. Como
, substitui-se o que achamos:
Calcular
:
Passo 5
Agora observe que
é múltiplo de
. Escrever a potência como produto de potências de expoente
:
Passo 6
Substituir
na expressão acima:
Como
é ímpar,
. Além disso
. Portanto
Passo 7
Checagem rápida pela forma polar (opcional, só para ver o mesmo resultado): escrever
em módulo e argumento. O módulo é
o argumento principal é
. Pela fórmula de De Moivre:
Aqui
e
. Como
, obtém-se novamente
confirmando o resultado obtido antes.