Exercício 0.5 Escreva os seguintes números complexos na forma polar
;
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma polar. O número fornecido é
. Não vou resolver aqui, apenas deixo claro o que é pedido:
- Número a converter:
. - Resultado esperado: representação polar (forma trigonométrica e/ou forma exponencial), ou seja algo como
e/ou .
Passo 2
Primeiro simplificar o número complexo. Somar as parcelas iguais:
Agora trabalharemos com o número complexo
, que é da forma
com
e
.
Passo 3
Calcular o módulo (ou norma)
do número complexo. A fórmula do módulo de um número complexo
é
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Aqui
e
, então
Interpretação: o módulo é a distância do ponto
até a origem no plano complexo; essa distância é
.
Passo 4
Calcular o argumento
(ângulo polar). Para um número
o argumento principal pode ser obtido por
, que leva em conta o sinal de
e
para escolher o quadrante correto. Aqui
e
, ou seja o ponto está sobre o eixo imaginário positivo. O ângulo correspondente é
Observação: argumentos equivalentes podem ser escritos adicionando
com
, isto é
.
Passo 5
Construir a forma polar trigonométrica. A forma trigonométrica geral é
Substituindo
e
obtém-se
Passo 6
Escrever também a forma exponencial (que é equivalente). A forma exponencial usa a identidade de Euler
. Assim:
E, como mencionado, a forma geral do argumento é
, então as formas completas são
e
.
Passo 7
Checagem rápida: calculando
e
, temos
que é o número original. Está consistente.