Exercício 0.5 Escreva os seguintes números complexos na forma polar
i+i;

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma polar. O número fornecido é i+i. Não vou resolver aqui, apenas deixo claro o que é pedido:
  • Número a converter: i+i.
  • Resultado esperado: representação polar (forma trigonométrica e/ou forma exponencial), ou seja algo como r(\cos\theta + i\sin\theta) e/ou re^{i\theta}.

Passo 2

Primeiro simplificar o número complexo. Somar as parcelas iguais:
i+i = 2i.
Agora trabalharemos com o número complexo 2i, que é da forma a+bi com a=0 e b=2.

Passo 3

Calcular o módulo (ou norma) r do número complexo. A fórmula do módulo de um número complexo a+bi é
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Aqui a=0 e b=2, então
r=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2.
Interpretação: o módulo é a distância do ponto (a,b)=(0,2) até a origem no plano complexo; essa distância é 2.

Passo 4

Calcular o argumento \theta (ângulo polar). Para um número a+bi o argumento principal pode ser obtido por \theta=\operatorname{atan2}(b,a), que leva em conta o sinal de a e b para escolher o quadrante correto. Aqui a=0 e b=2>0, ou seja o ponto está sobre o eixo imaginário positivo. O ângulo correspondente é
\theta=\frac{\pi}{2}.
Observação: argumentos equivalentes podem ser escritos adicionando 2k\pi com k\in\mathbb{Z}, isto é \theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi.

Passo 5

Construir a forma polar trigonométrica. A forma trigonométrica geral é
r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).
Substituindo r=2 e \theta=\dfrac{\pi}{2} obtém-se
2\bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\bigr).

Passo 6

Escrever também a forma exponencial (que é equivalente). A forma exponencial usa a identidade de Euler re^{i\theta}=r(\cos\theta + i\sin\theta). Assim:
2e^{i\pi/2}.
E, como mencionado, a forma geral do argumento é \theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, então as formas completas são 2(\cos(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi)+i\sin(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi)) e 2e^{i(\pi/2+2k\pi)}.

Passo 7

Checagem rápida: calculando \cos\frac{\pi}{2}=0 e \sin\frac{\pi}{2}=1, temos
2\bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\bigr)=2(0+i\cdot1)=2i,
que é o número original. Está consistente.

Resposta

2\bigl(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\bigr)
2e^{i\pi/2}

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