Exercício 9. Calcule a área da parte da superfície
situada no interior do cilindro
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede a área da parte dessa superfície que está situada no interior do cilindro
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A superfície é o gráfico da função
com .\n - A região projetada no plano
é o disco (isto é a parte interior do cilindro).\n
O que se pede: - Calcular a área da parte da superfície
que fica sobre esse disco.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de área de superfície para gráficos de funções
. Vou explicar essa fórmula devagarinho.\n
Mini-aula: se é uma superfície dada como gráfico, o elemento de área infinitesimal nessa superfície é
Mini-aula: se
onde
é o elemento de área no plano
(por exemplo
).\n
O que significa cada coisa:
O que significa cada coisa:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação da superfície ao variar mantendo fixo.\n -
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação da superfície ao variar mantendo fixo.\n - A raiz quadrada vem porque o elemento de área da superfície é a norma do vetor
projetado; não precisa decorar a derivação agora, basta saber aplicar.\n
Portanto, a áreada porção da superfície sobre uma região no plano é
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
:\n
Substituindo na fórmula do elemento de área obtemos o integrando
Assim a área pedida é
Passo 4
Para integrar sobre o disco é natural usar coordenadas polares. Vou explicar rapidamente:\n
- Em coordenadas polares fazemos
, com e no intervalo adequado.\n - O quadrado
vira .\n - O elemento de área plano
vira (isso é o determinante jacobiano da mudança de variáveis; pense em pequenos retângulos em polares cuja área é aproximadamente ).\n
No nosso caso a regiãoé o disco de raio , então e . O integrando passa a ser e .
Passo 5
Escrevendo a integral em polares temos
A integral em
é simples (o integrando não depende de
), então
Passo 6
Agora resolvemos a integral radial
.\n
Fazemos a substituição clássica . Então
, isto é
.\n
Quando temos
. Quando
temos
.\n
Substituindo,
Fazemos a substituição clássica
Quando
Substituindo,
Integrando potências:
logo
Passo 7
Voltando à área, multiplicamos pelo fator angular
:
Esse é o valor final da área. Pequena verificação mental: se
o disco reduz-se a um ponto e a área deve ser
; substituindo
obtemos
, faz sentido.