Exercício 9. Calcule a área da parte da superfície z=x y situada no interior do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=xy e pede a área da parte dessa superfície que está situada no interior do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}.\n
Informações dadas:
  • A superfície é o gráfico da função z=f(x,y) com f(x,y)=xy.\n
  • A região projetada no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\} (isto é a parte interior do cilindro).\n
    O que se pede:
  • Calcular a área da parte da superfície z=xy que fica sobre esse disco.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de área de superfície para gráficos de funções z=f(x,y). Vou explicar essa fórmula devagarinho.\n
Mini-aula: se z=f(x,y) é uma superfície dada como gráfico, o elemento de área infinitesimal nessa superfície é
dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\;dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy (por exemplo dx\,dy).\n
O que significa cada coisa:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície ao variar x mantendo y fixo.\n
  • \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial de f em relação a y: mede a inclinação da superfície ao variar y mantendo x fixo.\n
  • A raiz quadrada vem porque o elemento de área da superfície é a norma do vetor (1,f_x,f_y) projetado; não precisa decorar a derivação agora, basta saber aplicar.\n
    Portanto, a área A da porção da superfície sobre uma região D no plano xy é
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=xy:\n
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x.
Substituindo na fórmula do elemento de área obtemos o integrando
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+y^{2}+x^{2}}=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}.
Assim a área pedida é
A=\iint_{x^{2}+y^{2}\le a^{2}}\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}\;dA.

Passo 4

Para integrar sobre o disco é natural usar coordenadas polares. Vou explicar rapidamente:\n
  • Em coordenadas polares fazemos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta no intervalo adequado.\n
  • O quadrado x^{2}+y^{2} vira r^{2}.\n
  • O elemento de área plano dA vira r\,dr\,d\theta (isso é o determinante jacobiano da mudança de variáveis; pense em pequenos retângulos em polares cuja área é aproximadamente r\,dr\,d\theta).\n
    No nosso caso a região D é o disco de raio a, então r\in[0,a] e \theta\in[0,2\pi]. O integrando passa a ser \sqrt{1+r^{2}} e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Escrevendo a integral em polares temos
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\sqrt{1+r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.
A integral em \theta é simples (o integrando não depende de \theta), então
A=2\pi\int_{0}^{a}r\sqrt{1+r^{2}}\;dr.

Passo 6

Agora resolvemos a integral radial \int_{0}^{a}r\sqrt{1+r^{2}}\;dr.\n
Fazemos a substituição clássica u=1+r^{2}. Então \,du=2r\,dr, isto é r\,dr=\dfrac{1}{2}\,du.\n
Quando r=0 temos u=1. Quando r=a temos u=1+a^{2}.\n
Substituindo,
\int_{0}^{a}r\sqrt{1+r^{2}}\;dr=\int_{u=1}^{1+a^{2}}\sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{1+a^{2}}u^{1/2}\,du.
Integrando potências:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2},
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\frac{1}{2}\int_{1}^{1+a^{2}}u^{1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{1+a^{2}}=\frac{1}{3}\left[(1+a^{2})^{3/2}-1\right].

Passo 7

Voltando à área, multiplicamos pelo fator angular 2\pi:
A=2\pi\cdot\frac{1}{3}\left[(1+a^{2})^{3/2}-1\right]=\frac{2\pi}{3}\left[(1+a^{2})^{3/2}-1\right].
Esse é o valor final da área. Pequena verificação mental: se a=0 o disco reduz-se a um ponto e a área deve ser 0; substituindo a=0 obtemos \dfrac{2\pi}{3}((1+0)^{3/2}-1)=0, faz sentido.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}\bigl((1+a^{2})^{3/2}-1\bigr)

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