Exercício 23. Calcule \int_{S} x d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x \geq 0, z \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x\,d s,
onde S é a parte da esfera unitária dada por
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\; x\ge 0,\; z\ge 0\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é a esfera de raio 1 centrada na origem (ou seja, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1).
  • Há as restrições x\ge 0 e z\ge 0, isto é, estamos tomando a parte da esfera com coordenada x não negativa e coordenada z não negativa.
  • Queremos a integral de superfície do escalar x sobre essa porção S.

Passo 2

Escolhemos uma parametrização natural da esfera unitária: coordenadas esféricas (raio 1\)). Definimos os parâmetros \(\varphi\) e \(\theta\) assim: \[\begin{cases} \varphi \text{ é o ângulo polar medido a partir do eixo } z \text{ (}0\le \varphi\le \pi\text{)},\\[4pt] \theta \text{ é o ângulo azimutal no plano } xy \text{ (}0\le \theta<2\pi\text{)}. \end{cases}
A parametrização da esfera unitária é
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\big(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi\big).
Aqui cada componente significa:
  • x=\sin\varphi\cos\theta\], - \(y=\sin\varphi\sin\theta,
    - z=\cos\varphi.]

Passo 3

Vamos obter o elemento de área d s sobre a esfera em termos de \varphi e \theta. Em geral, para uma parametrização \mathbf{r}(\varphi,\theta),
d s = \big\|\mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}\big\|\,d\varphi\,d\theta.
Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_{\varphi}=(\cos\varphi\cos\theta,\;\cos\varphi\sin\theta,\;-\sin\varphi),
\mathbf{r}_{\theta}=(-\sin\varphi\sin\theta,\;\sin\varphi\cos\theta,\;0).
Agora o produto vetorial. Uma forma rápida é usar que, para a esfera unitária, esse módulo resulta em \sin\varphi. Se você quiser ver a conta direta:
\big\|\mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}\big\|=\sin\varphi.
Portanto
d s = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Observação didática: esse \sin\varphi é o fator de “área” que aparece por causa da curvatura — é análogo ao jacobiano em coordenadas polares.

Passo 4

Expressamos a função integranda x em termos dos parâmetros:
x=\sin\varphi\cos\theta.
Assim o integrando x\,d s torna-se
x\,d s = (\sin\varphi\cos\theta)\cdot(\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta)=\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Determinamos os limites para \varphi e \theta a partir das restrições x\ge 0 e z\ge 0.
  • A condição z\ge 0 significa \cos\varphi\ge 0, logo \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (parte superior da esfera).
  • A condição x\ge 0 significa \cos\theta\ge 0, logo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (metade do círculo azimutal).
    Portanto a região de integração em (\varphi,\theta) é
\varphi\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big],\qquad \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].

Passo 6

Montamos a integral dupla:
\iint_{S} x\,d s = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta.
Note que a integral separa em produto de uma integral em \theta e outra em \varphi, porque \sin^{2}\varphi depende só de \varphi e \cos\theta só de \theta:
\iint_{S} x\,d s = \left(\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\right).

Passo 7

Calculamos a integral em \theta:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta = \big[\sin\theta\big]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)-\sin\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)=1-(-1)=2.

Passo 8

Calculamos a integral em \varphi. Usamos a identidade \sin^{2}\varphi=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2\varphi). Então
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi = \frac{1}{2}\Big[\varphi-\tfrac{1}{2}\sin 2\varphi\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
Avaliaremos:
\Big[\varphi-\tfrac{1}{2}\sin 2\varphi\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{1}{2}\sin\pi\right)-\left(0-\tfrac{1}{2}\sin 0\right)=\tfrac{\pi}{2}.
Logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.

Passo 9

Multiplicamos os resultados das duas integrais:
\iint_{S} x\,d s = \left(2\right)\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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