A superfície é a esfera de raio 1 centrada na origem (ou seja, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1).
Há as restrições x\ge 0 e z\ge 0, isto é, estamos tomando a parte da esfera com coordenada x não negativa e coordenada z não negativa.
Queremos a integral de superfície do escalar x sobre essa porção S.
Passo 2
Escolhemos uma parametrização natural da esfera unitária: coordenadas esféricas (raio 1\)). Definimos os parâmetros \(\varphi\) e \(\theta\) assim:
\[\begin{cases} \varphi \text{ é o ângulo polar medido a partir do eixo } z \text{ (}0\le \varphi\le \pi\text{)},\\[4pt] \theta \text{ é o ângulo azimutal no plano } xy \text{ (}0\le \theta<2\pi\text{)}. \end{cases}
Observação didática: esse \sin\varphi é o fator de “área” que aparece por causa da curvatura — é análogo ao jacobiano em coordenadas polares.
Passo 4
Expressamos a função integranda x em termos dos parâmetros:
x=\sin\varphi\cos\theta.
Assim o integrando x\,d s torna-se
x\,d s = (\sin\varphi\cos\theta)\cdot(\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta)=\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta.
Passo 5
Determinamos os limites para \varphi e \theta a partir das restrições x\ge 0 e z\ge 0.
A condição z\ge 0 significa \cos\varphi\ge 0, logo \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (parte superior da esfera).
A condição x\ge 0 significa \cos\theta\ge 0, logo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (metade do círculo azimutal).
Portanto a região de integração em (\varphi,\theta) é
\iint_{S} x\,d s = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta.
Note que a integral separa em produto de uma integral em \theta e outra em \varphi, porque \sin^{2}\varphi depende só de \varphi e \cos\theta só de \theta:
\iint_{S} x\,d s = \left(\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\right).