Exercício 3. Calcule a área da parte da esfera
situada no interior do cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da esfera
que está ao mesmo tempo: (i) no interior do cilindro
(ou seja, na região onde
), (ii) com
(parte superior da esfera). Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
,
.\n\nO que devemos encontrar: a área da porção da superfície esférica (de raio
) que satisfaz essas duas restrições simultaneamente.
Passo 2
Estratégia e motivo da escolha do método (sem ainda começar a calcular): vou usar a projeção ortogonal da superfície esférica sobre o plano
. Isso porque a parte superior da esfera pode ser escrita como gráfico
e existe uma fórmula simples para o elemento de área de um gráfico. Assim transformamos a área da superfície numa integral dupla sobre a região planar dada pelo cilindro (uma elipse). Esta abordagem evita parametrizações mais complicadas e as contas ficam mais diretas.\n\nVou agora lembrar e explicar a fórmula do elemento de área para um gráfico.
Passo 3
Fórmula do elemento de área para um gráfico: se uma superfície é dada por
com
diferenciável, o elemento de área é
onde
e
são as derivadas parciais e
é o elemento de área no plano
(por exemplo
ou em coordenadas polares
). Vou aplicar isso à nossa esfera.
Passo 4
Calcular
e
para a esfera superior. Temos
. Então
Substituindo em
obtemos
pois
. Logo o elemento de área da esfera superior é
Passo 5
Agora escrevemos a área total como integral sobre a região planar
definida por
(isto é, uma elipse no plano
), usando
:
Para facilitar a integração, faço a mudança linear que transforma a elipse unitária: defino
Então a região
em
vira o disco unidade
em
. O jacobiano dessa transformação é
, ou seja
. Substituo na integral.
Passo 6
Após a mudança
temos
A integral da área fica
onde introduzi
(note
). Agora uso coordenadas polares no disco
:
, com
. O jacobiano é
. Assim
Passo 7
Faço a integral em
primeiro. Para uma fixada
, seja
. A integral em
é
Faço a substituição
(assim
). Então
Para calcular
uso
, obtendo
Multiplicando por
vem
Passo 8
Substituo o resultado da integral em
de volta na integral em
. Lembro que
. Assim
É conveniente separar termos:
Vou tratar cada integral por sua vez. O primeiro termo pode ser simplificado ao observar forma de
, mas há uma maneira mais direta e elegante: voltar a coordenadas polares
na expressão anterior antes de reduzir para essa forma gera uma simplificação alternativa — no entanto uma abordagem mais limpa é reescrever a área usando a integral intermediária calculada por troca da ordem de integração no passo com
limite dependente de
. Vou seguir essa alternativa, que simplifica a integral final.
Passo 9
Volto à forma original em coordenadas cilíndricas (mais direta): usei antes
e, em coordenadas polares reais
,
. A região dada pelo cilindro tem raio máximo em função de
igual a
Então a área é
Essa integral interna em
pode ser feita diretamente com a substituição
(ou reconhecendo a primitiva). Calculamos:
Portanto
Passo 10
Agora calculo
. Como
temos
Logo
Por simetria da integranda em
posso restringir a integral a
e multiplicar por
. Assim
Passo 11
Faço a substituição
no integral de
. Então
e os limites vão de
a
. Isso transforma
Factorizo
dentro da raiz:
Então o integral fica
Recordando
, obtemos após simplificar
Passo 12
Substituindo esse resultado na expressão para a integral total obtemos
Portanto a área é
Passo 13
Podemos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Note que, para
,
pois
. Assim a área pode ser escrita de forma mais compacta como
Se quiser, factoramos
: