Exercício 6. Calcule a área no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e a parábola
. Determine o valor de a que minimiza esta área.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a área, no primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela parábola
com . - Determinar o valor de
que minimiza essa área.
Informações dadas:
- A curva é
. - “Primeiro quadrante” significa
e . - As fronteiras da região são: o eixo
(reta ), o eixo (reta ) e a parábola dada. - Como a parábola tem coeficiente de
igual a , ela abre para baixo e intercepta o eixo em dois pontos; um desses pontos de interseção será positivo e é o que limita a região no primeiro quadrante.
Passo 2
Encontrar o ponto de interseção (positivo) da parábola com o eixo
: resolvemos
para
.
Escrevendo em forma padrão:
Escrevendo em forma padrão:
Usando a fórmula quadrática, as raízes são
Como queremos a interseção positiva no primeiro quadrante, tomamos
Passo 3
Expressar a área
como integral da função entre
e
:
Calculemos a primitiva e avalie:
Portanto
Passo 4
Usar a relação que
satisfaz para simplificar
. Como
é raiz, temos
Dessa igualdade segue
Multiplicando por
obtemos
Substitua essas expressões em
:
Agora simplificamos termo a termo:
Agrupando os termos semelhantes:
- termos em
: , - termos em
: , - constantes:
.
Logo
Passo 5
Expressar
em função de
para obter
como função de
(mais fácil para otimizar). Da equação da raiz:
Então
pois
e
(explicação:
porque
, logo
). Substituindo em
:
Passo 6
Minimizar
para
. Calcule a derivada:
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
, tomamos
, portanto
Verificação de mínimo: calculamos a segunda derivada
logo a crítica encontrada é um mínimo.
Passo 7
Determinar
correspondente a
. Usando
:
Podemos também calcular a área mínima
substituindo
em
: