Exercício 6. Calcule a área no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e a parábola y=1+a x-a x^{2}, a>0. Determine o valor de a que minimiza esta área.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a área, no primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela parábola y=1+a x-a x^{2} com a>0.
  • Determinar o valor de a que minimiza essa área.
Informações dadas:
  • A curva é y=1+a x-a x^{2}.
  • “Primeiro quadrante” significa x\ge 0 e y\ge 0.
  • As fronteiras da região são: o eixo y (reta x=0), o eixo x (reta y=0) e a parábola dada.
  • Como a parábola tem coeficiente de x^{2} igual a -a<0, ela abre para baixo e intercepta o eixo x em dois pontos; um desses pontos de interseção será positivo e é o que limita a região no primeiro quadrante.

Passo 2

Encontrar o ponto de interseção (positivo) da parábola com o eixo x: resolvemos 1+a x-a x^{2}=0 para x.
Escrevendo em forma padrão:
a x^{2}-a x-1=0.
Usando a fórmula quadrática, as raízes são
x=\frac{a\pm\sqrt{a^{2}+4a}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{1+\tfrac{4}{a}}}{2}.
Como queremos a interseção positiva no primeiro quadrante, tomamos
x_{1}=\frac{1+\sqrt{1+\tfrac{4}{a}}}{2}.

Passo 3

Expressar a área A(a) como integral da função entre x=0 e x=x_{1}:
A(a)=\int_{0}^{x_{1}}\bigl(1+a x-a x^{2}\bigr)\,dx.
Calculemos a primitiva e avalie:
\int\bigl(1+a x-a x^{2}\bigr)\,dx = x+\frac{a x^{2}}{2}-\frac{a x^{3}}{3}.
Portanto
A(a)=\left[x+\frac{a x^{2}}{2}-\frac{a x^{3}}{3}\right]_{0}^{x_{1}} = x_{1}+\frac{a x_{1}^{2}}{2}-\frac{a x_{1}^{3}}{3}.

Passo 4

Usar a relação que x_{1} satisfaz para simplificar A(a). Como x_{1} é raiz, temos
1+a x_{1}-a x_{1}^{2}=0.
Dessa igualdade segue
a x_{1}^{2}=a x_{1}+1.
Multiplicando por x_{1} obtemos
a x_{1}^{3}=a x_{1}^{2}+x_{1}= (a x_{1}+1)+x_{1}=a x_{1}+1+x_{1}.
Substitua essas expressões em A(a):
A(a)=x_{1}+\frac{1}{2}\bigl(a x_{1}^{2}\bigr)-\frac{1}{3}\bigl(a x_{1}^{3}\bigr) = x_{1}+\frac{1}{2}(a x_{1}+1)-\frac{1}{3}(a x_{1}+1+x_{1}).
Agora simplificamos termo a termo:
A(a)=x_{1}+\frac{a x_{1}}{2}+\frac{1}{2}-\frac{a x_{1}}{3}-\frac{1}{3}-\frac{x_{1}}{3}.
Agrupando os termos semelhantes:
  • termos em a x_{1}: \dfrac{a x_{1}}{2}-\dfrac{a x_{1}}{3}= \dfrac{a x_{1}}{6},
  • termos em x_{1}: x_{1}-\dfrac{x_{1}}{3}=\dfrac{2x_{1}}{3},
  • constantes: \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}.
Logo
A(a)=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{a x_{1}}{6}+\frac{1}{6}.

Passo 5

Expressar a x_{1} em função de x_{1} para obter A como função de x_{1} (mais fácil para otimizar). Da equação da raiz:
1=a(x_{1}^{2}-x_{1})\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{x_{1}^{2}-x_{1}}.
Então
a x_{1}=\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}-x_{1}}=\frac{1}{x_{1}-1},
pois x_{1}\neq 0 e x_{1}>1 (explicação: x_{1}>1 porque \sqrt{1+\tfrac{4}{a}}>1, logo \tfrac{1+\sqrt{\cdot}}{2}>1). Substituindo em A:
A(x_{1})=\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{6(x_{1}-1)}+\frac{1}{6}.

Passo 6

Minimizar A(x_{1}) para x_{1}>1. Calcule a derivada:
A'(x_{1})=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{(x_{1}-1)^{2}}.
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
\frac{2}{3}-\frac{1}{6(x_{1}-1)^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{6(x_{1}-1)^{2}}=\frac{2}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 6:
\frac{1}{(x_{1}-1)^{2}}=4 \quad\Rightarrow\quad (x_{1}-1)^{2}=\frac{1}{4}.
Como x_{1}>1, tomamos x_{1}-1=\tfrac{1}{2}, portanto
x_{1}=\frac{3}{2}.
Verificação de mínimo: calculamos a segunda derivada
A''(x_{1})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(x_{1}-1)^{3}}>0\quad\text{para }x_{1}>1,
logo a crítica encontrada é um mínimo.

Passo 7

Determinar a correspondente a x_{1}=\tfrac{3}{2}. Usando a=\dfrac{1}{x_{1}^{2}-x_{1}}:
a=\frac{1}{\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\tfrac{3}{2}} = \frac{1}{\tfrac{9}{4}-\tfrac{6}{4}} = \frac{1}{\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}.
Podemos também calcular a área mínima A_{\min} substituindo x_{1}=\tfrac{3}{2} em A(x_{1}):
A\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}+\frac{1}{6\cdot(\tfrac{1}{2})}+\frac{1}{6} =1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Resposta

A(a)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\sqrt{1+\dfrac{4}{a}}+\dfrac{1}{3\bigl(\sqrt{1+\dfrac{4}{a}}-1\bigr)}\n
a_{\text{que minimiza}}=\dfrac{4}{3}\n
A_{\min}=\dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados