Encontre o volume dos sólidos de revolução obtidos pela rotação da região delimitadas pelas curvas dadas pela reta especificada. Esboce a região e o sólido.
x=\sqrt{9-y^{2}}, x=0 pelo eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do plano limitada pelas curvas
x=\sqrt{9-y^{2}}
e
x=0.
As perguntas claras são:
  • Qual é a região do plano descrita por essas curvas (intervalo de y, forma da região)?
  • Qual é o volume do sólido gerado por essa rotação em torno do eixo y?
  • Fazer um esboço descritivo da região e do sólido.
Informações dadas importantes:
  • A curva x=\sqrt{9-y^{2}} representa a semicircunferência (a raiz indica x\ge 0) de raio 3.
  • A outra fronteira é a reta vertical x=0 (o próprio eixo y).
  • A rotação é feita em torno do eixo y.

Passo 2

Identificar melhor a região no plano e seus limites em y.
A equação x=\sqrt{9-y^{2}} implica, ao elevar ao quadrado, que
x^{2}=9-y^{2},
ou equivalente
x^{2}+y^{2}=9.
Como a expressão original tem raiz positiva, estamos apenas com a metade direita do círculo de raio 3 centrado na origem (ou seja, o semicírculo com x\ge 0). Os valores possíveis de y vêm de y^{2}\le 9, portanto
-3\le y\le 3.
Logo, a região é o semidisco direito de raio 3: todos os pontos com x entre 0 e \sqrt{9-y^{2}} para y\in[-3,3].

Passo 3

Descrever o esboço da região e do sólido (em palavras, já que não estamos desenhando à mão aqui).
Esboço da região no plano xy:
  • Trace o círculo x^{2}+y^{2}=9. Tome apenas a metade com x\ge 0: é um semicírculo vertical aberto para a direita.
  • A fronteira esquerda é a reta x=0 (o eixo y).
  • A região é a parte interna desse semicírculo (um semidisco).
Esboço do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y:
  • Cada ponto da curva externa x=\sqrt{9-y^{2}} a uma distância x do eixo y gira formando um círculo de raio x.
  • Rotacionando o semidisco direito em torno do eixo y obtém-se uma esfera completa de raio 3 (intuitivamente: a semicircunferência girando completa a superfície esférica e o interior gera a esfera inteira).

Passo 4

Escolher o método de cálculo do volume e escrever a fórmula usada.
Aqui é natural usar o método dos discos (ou “fatias perpendiculares ao eixo de rotação”), porque estamos girando em torno do eixo y e a fronteira é dada como x em função de y. Para o método dos discos:
  • Em uma altura fixa y, a seção transversal perpendicular ao eixo y é um círculo de raio
R(y)=\text{o maior valor de }x\text{ na região}=\sqrt{9-y^{2}}.ã
  • A área desse disco é
A(y)=\pi\bigl(R(y)\bigr)^{2}=\pi\bigl(\sqrt{9-y^{2}}\bigr)^{2}=\pi(9-y^{2}).
  • O volume é a integral dessa área ao longo de y de -3 a 3:
V=\int_{y=-3}^{y=3} A(y)\,dy=\int_{-3}^{3}\pi(9-y^{2})\,dy.
(Explicando a fórmula: A(y) é a área da seção transversal perpendicular ao eixo de rotação em altura y. Integrar A(y) em y soma as fatias cilíndricas infinitesimais para obter o volume total.)

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Escrevemos o integral já com o fator \pi fora:
V=\pi\int_{-3}^{3}(9-y^{2})\,dy.
Integramos termo a termo:
  • A primitiva de 9 em y é 9y.
  • A primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}.
Logo uma primitiva para 9-y^{2} é
9y-\frac{y^{3}}{3}.
Avaliaremos entre os limites -3 e 3:
V=\pi\left[\;9y-\frac{y^{3}}{3}\;\right]_{-3}^{3}.
Calcule o valor em y=3:
9\cdot 3-\frac{3^{3}}{3}=27-\frac{27}{3}=27-9=18.
Calcule o valor em y=-3:
9\cdot(-3)-\frac{(-3)^{3}}{3}=-27-\frac{-27}{3}=-27+9=-18.
Subtraindo:
\left(18\right)-\left(-18\right)=36.
Multiplicando pelo \pi:
V=\pi\cdot 36=36\pi.

Passo 6

Comentário curto de verificação (opcional, método alternativo).
Se quisermos, podemos confirmar usando o método das cascas cilíndricas (integrando em x). Tomando uma vertical em x (de x=0 até x=3), a altura da região nessa abscissa é 2\sqrt{9-x^{2}}. A fórmula das cascas dá
V=2\pi\int_{0}^{3} x\cdot\bigl(2\sqrt{9-x^{2}}\bigr)\,dx =4\pi\int_{0}^{3} x\sqrt{9-x^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição u=9-x^{2}, du=-2x\,dx, a integral avalia-se e também resulta em 36\pi. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

36\pi

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