Encontre o volume dos sólidos de revolução obtidos pela rotação da região delimitadas pelas curvas dadas pela reta especificada. Esboce a região e o sólido.
pelo eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do plano limitada pelas curvas
e
As perguntas claras são:
- Qual é a região do plano descrita por essas curvas (intervalo de
, forma da região)? - Qual é o volume do sólido gerado por essa rotação em torno do eixo
? - Fazer um esboço descritivo da região e do sólido.
Informações dadas importantes:
- A curva
representa a semicircunferência (a raiz indica ) de raio . - A outra fronteira é a reta vertical
(o próprio eixo ). - A rotação é feita em torno do eixo
.
Passo 2
Identificar melhor a região no plano e seus limites em
.
A equação
implica, ao elevar ao quadrado, que
ou equivalente
Como a expressão original tem raiz positiva, estamos apenas com a metade direita do círculo de raio
centrado na origem (ou seja, o semicírculo com
). Os valores possíveis de
vêm de
, portanto
Logo, a região é o semidisco direito de raio
: todos os pontos com
entre
e
para
.
Passo 3
Descrever o esboço da região e do sólido (em palavras, já que não estamos desenhando à mão aqui).
Esboço da região no plano
:
- Trace o círculo
. Tome apenas a metade com : é um semicírculo vertical aberto para a direita. - A fronteira esquerda é a reta
(o eixo ). - A região é a parte interna desse semicírculo (um semidisco).
Esboço do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
:
- Cada ponto da curva externa
a uma distância do eixo gira formando um círculo de raio . - Rotacionando o semidisco direito em torno do eixo
obtém-se uma esfera completa de raio (intuitivamente: a semicircunferência girando completa a superfície esférica e o interior gera a esfera inteira).
Passo 4
Escolher o método de cálculo do volume e escrever a fórmula usada.
Aqui é natural usar o método dos discos (ou “fatias perpendiculares ao eixo de rotação”), porque estamos girando em torno do eixo
e a fronteira é dada como
em função de
. Para o método dos discos:
- Em uma altura fixa
, a seção transversal perpendicular ao eixo é um círculo de raio
- A área desse disco é
- O volume é a integral dessa área ao longo de
de a :
(Explicando a fórmula:
é a área da seção transversal perpendicular ao eixo de rotação em altura
. Integrar
em
soma as fatias cilíndricas infinitesimais para obter o volume total.)
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
Escrevemos o integral já com o fator
fora:
Integramos termo a termo:
- A primitiva de
em é . - A primitiva de
é .
Logo uma primitiva para
é
Avaliaremos entre os limites
e
:
Calcule o valor em
:
Calcule o valor em
:
Subtraindo:
Multiplicando pelo
:
Passo 6
Comentário curto de verificação (opcional, método alternativo).
Se quisermos, podemos confirmar usando o método das cascas cilíndricas (integrando em
). Tomando uma vertical em
(de
até
), a altura da região nessa abscissa é
. A fórmula das cascas dá
Fazendo a substituição
,
, a integral avalia-se e também resulta em
. Isso confirma o resultado anterior.