Exercício 2 Calcule.
\lim _{x \rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} onde g(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}
onde g(x)=\dfrac{1}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • g(x)=\dfrac{1}{x}, portanto g está definida apenas para x\neq0.
  • O ponto a precisa pertencer ao domínio de g, portanto necessariamente a\neq0.
  • No limite x\to a assumimos x\neq a ao manipular a expressão (mas depois podemos passar ao limite).

Passo 2

Substituo g na expressão do limite para escrever a forma que vamos manipular:
\lim_{x\to a}\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}}{x-a}.

Passo 3

Vou simplificar o numerador encontrando um denominador comum. Para \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a} o denominador comum é ax. Então:
\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=\frac{a}{ax}-\frac{x}{ax}=\frac{a-x}{ax}.
Expliquei cada termo: transformar \dfrac{1}{x} em \dfrac{a}{ax} porque \dfrac{a}{ax}=\dfrac{1}{x}, e análogo para \dfrac{1}{a}.

Passo 4

Substituo o numerador simplificado de volta na fração e escrevo a divisão explícita:
\frac{\dfrac{a-x}{ax}}{x-a}=\frac{a-x}{ax}\cdot\frac{1}{x-a}=\frac{a-x}{ax(x-a)}.
Agora uso que a-x=-(x-a), então
\frac{a-x}{ax(x-a)}=\frac{-(x-a)}{ax(x-a)}.
Como estamos considerando x\neq a durante a manipulação (válido no contexto do limite), podemos cancelar o fator (x-a), ficando:
\frac{-(x-a)}{ax(x-a)}=-\frac{1}{ax}\qquad(\text{para }x\neq a,\;a\neq0).

Passo 5

Agora o limite fica simples:
\lim_{x\to a}\left(-\frac{1}{ax}\right).
A função -\dfrac{1}{ax} é uma função racional em x que é contínua no ponto x=a desde que a\neq0 (o denominador ax não zera quando x está próximo de a e a\neq0). Portanto posso simplesmente substituir x=a no valor contínuo:
\lim_{x\to a}\left(-\frac{1}{ax}\right)=-\frac{1}{a\cdot a}=-\frac{1}{a^{2}}.

Passo 6

Interpretação e dica prática: esse tipo de limite é exatamente a definição do coeficiente diferencial (a derivada) de g em a. Como verificação alternativa rápida, escrevendo g(x)=x^{-1} e aplicando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}), obtém-se
g'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}},
logo g'(a)=-\dfrac{1}{a^{2}}, que coincide com o resultado do limite. Lembre-se sempre de checar a condição a\neq0 antes de aplicar o resultado.

Resposta

-\dfrac{1}{a^{2}} para a\neq0

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