Exercício 2 Calcule.
onde
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
.
Informações relevantes dadas:
-
, portanto está definida apenas para . - O ponto
precisa pertencer ao domínio de , portanto necessariamente . - No limite
assumimos ao manipular a expressão (mas depois podemos passar ao limite).
Passo 2
Substituo
na expressão do limite para escrever a forma que vamos manipular:
Passo 3
Vou simplificar o numerador encontrando um denominador comum. Para
o denominador comum é
. Então:
Expliquei cada termo: transformar
em
porque
, e análogo para
.
Passo 4
Substituo o numerador simplificado de volta na fração e escrevo a divisão explícita:
Agora uso que
, então
Como estamos considerando
durante a manipulação (válido no contexto do limite), podemos cancelar o fator
, ficando:
Passo 5
Agora o limite fica simples:
A função
é uma função racional em
que é contínua no ponto
desde que
(o denominador
não zera quando
está próximo de
e
). Portanto posso simplesmente substituir
no valor contínuo:
Passo 6
Interpretação e dica prática: esse tipo de limite é exatamente a definição do coeficiente diferencial (a derivada) de
em
. Como verificação alternativa rápida, escrevendo
e aplicando a regra do poder (derivada de
é
), obtém-se
logo
, que coincide com o resultado do limite. Lembre-se sempre de checar a condição
antes de aplicar o resultado.