Exercício 4. Calcule o comprimento de arco da curva
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva
no intervalo
.
Informações dadas:
- A curva está dada parametricamente por
e . - O parâmetro varia em
. - A pergunta é: qual é o comprimento total do arco da curva quando
vai de a ?
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada de forma direta): para uma curva no plano dada por
com
em
, o comprimento de arco
é
onde
é a norma da derivada, isto é
Intuição curta:
dá a velocidade ao percorrer a curva; multiplicar velocidade por tempo e integrar dá distância percorrida. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes:
- Para
temos . - Para
temos .
Assim
Passo 4
Agora a norma:
Fatorando
dentro da raiz:
Como o intervalo é
, temos
e portanto
. Logo
Passo 5
Montando a integral do comprimento:
Fazendo a substituição clássica para integrar esse tipo:
Quando
temos
. Quando
temos
. A integral fica
Agora integrar potência:
Avaliar de
a
:
Observação de simplificação:
, então uma forma alternativa é
Passo 6
Breve verificação numérica (só para sentir a escala):
então
e
Tudo consistente com o cálculo simbólico acima.