Exercício 4. Calcule o comprimento de arco da curva r(t)=\left(t^{2}, \frac{2}{3} t^{3}\right) no intervalo 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva \,r(t)=\left(t^{2}, \frac{2}{3}t^{3}\right)\, no intervalo \,0\le t\le1.
Informações dadas:
  • A curva está dada parametricamente por \,x(t)=t^{2}\, e \,y(t)=\dfrac{2}{3}t^{3}\,.
  • O parâmetro varia em \,[0,1].
  • A pergunta é: qual é o comprimento total do arco da curva quando t vai de 0 a 1?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada de forma direta): para uma curva no plano dada por \,r(t)=(x(t),y(t))\, com t em [a,b], o comprimento de arco S é
S=\int_{a}^{b}\lVert r'(t)\rVert\,dt,
onde \lVert r'(t)\rVert é a norma da derivada, isto é
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
Intuição curta: r'(t) dá a velocidade ao percorrer a curva; multiplicar velocidade por tempo e integrar dá distância percorrida. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes:
  • Para x(t)=t^{2} temos x'(t)=2t.
  • Para y(t)=\dfrac{2}{3}t^{3} temos y'(t)=\dfrac{2}{3}\cdot 3t^{2}=2t^{2}.
Assim
r'(t)=\bigl(2t,\;2t^{2}\bigr).

Passo 4

Agora a norma:
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{(2t)^{2}+(2t^{2})^{2}}=\sqrt{4t^{2}+4t^{4}}.
Fatorando 4t^{2} dentro da raiz:
\sqrt{4t^{2}+4t^{4}}=\sqrt{4t^{2}(1+t^{2})}=2\sqrt{t^{2}}\sqrt{1+t^{2}}.
Como o intervalo é [0,1], temos t\ge0 e portanto \sqrt{t^{2}}=t. Logo
\lVert r'(t)\rVert=2t\sqrt{1+t^{2}}\qquad\text{para }0\le t\le1.

Passo 5

Montando a integral do comprimento:
S=\int_{0}^{1}2t\sqrt{1+t^{2}}\,dt.
Fazendo a substituição clássica para integrar esse tipo:
u=1+t^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt.
Quando t=0 temos u=1. Quando t=1 temos u=2. A integral fica
S=\int_{u=1}^{u=2}\sqrt{u}\,du=\int_{1}^{2}u^{1/2}\,du.
Agora integrar potência:
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Avaliar de 1 a 2:
S=\frac{2}{3}\Bigl(u^{3/2}\Bigr)\Big|_{1}^{2}=\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr)=\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
Observação de simplificação: 2^{3/2}=2\sqrt{2}, então uma forma alternativa é
S=\frac{2}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)=\frac{4\sqrt{2}-2}{3}.

Passo 6

Breve verificação numérica (só para sentir a escala): \sqrt{2}\approx1{,}4142 então 2\sqrt{2}\approx2{,}8284 e
S\approx\frac{2}{3}(2{,}8284-1)=\frac{2}{3}\cdot1{,}8284\approx1{,}2189.
Tudo consistente com o cálculo simbólico acima.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)=\frac{4\sqrt{2}-2}{3}

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