Exercício 3. Uma partícula se move com aceleração constante a(t)=(0,-g). Se a velocidade inicial é v(0)= \left(v_{0 x}, v_{0 y}\right) e a posição inicial é a origem, qual é o vetor posição r(t) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
  • A aceleração da partícula é \mathbf{a}(t)=(0,-g).
  • A velocidade inicial é \mathbf{v}(0)=\left(v_{0x},v_{0y}\right).
  • A posição inicial é a origem, isto é \mathbf{r}(0)=(0,0).
O que o problema pede:
  • Encontrar o vetor posição \mathbf{r}(t) da partícula para tempo genérico t.

Passo 2

Relação entre aceleração, velocidade e posição (conceito-chave que vamos usar):
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}.
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}.
Para obter \mathbf{v}(t) a partir de \mathbf{a}(t) fazemos integração no tempo:
\mathbf{v}(t)=\int \mathbf{a}(t)\,dt + \mathbf{C},
onde \mathbf{C} é uma constante vetorial determinada pela condição inicial \mathbf{v}(0). Vou integrar componente a componente, que é o jeito mais simples e seguro.

Passo 3

Integração da aceleração para obter a velocidade (com explicações passo a passo):
  • Componentes da aceleração: \,a_x(t)=0 e \,a_y(t)=-g.
  • Integrando a_x(t)=0:
v_x(t)=\int 0\,dt + C_x = C_x.
Aplicando a condição inicial \,v_x(0)=v_{0x} resulta em C_x=v_{0x}. Logo
v_x(t)=v_{0x}.
  • Integrando a_y(t)=-g: a antiderivada de uma constante -g é -g t (porque \dfrac{d}{dt}(-g t)=-g):
v_y(t)=\int -g\,dt + C_y = -g t + C_y.
Aplicando v_y(0)=v_{0y} C_y=v_{0y}. Portanto
v_y(t)=v_{0y}-g t.
Assim a velocidade em forma vetorial é
\mathbf{v}(t)=\left(v_{0x},\,v_{0y}-g t\right).

Passo 4

Integração da velocidade para obter a posição (novamente componente a componente):
  • Integramos v_x(t)=v_{0x}:
x(t)=\int v_{0x}\,dt + D_x = v_{0x}\,t + D_x.
Usando x(0)=0 (posição inicial) obtemos D_x=0. Logo
x(t)=v_{0x}\,t.
  • Integramos v_y(t)=v_{0y}-g t. A antiderivada de v_{0y} é v_{0y} t e a antiderivada de -g t é -\dfrac{1}{2}g t^2 (pois \dfrac{d}{dt}\!\left(-\dfrac{1}{2}g t^2\right)=-g t):
y(t)=\int (v_{0y}-g t)\,dt + D_y = v_{0y}\,t - \frac{1}{2}g t^2 + D_y.
Usando y(0)=0 segue D_y=0. Portanto
y(t)=v_{0y}\,t - \frac{1}{2}g t^2.

Passo 5

Juntando as componentes obtemos o vetor posição final. Pequenas observações úteis para prova:
  • As componentes são paramétricas: x(t)=v_{0x}t e y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2.
  • Isso é exatamente o movimento de um projétil sem resistência do ar: movimento horizontal com velocidade constante e movimento vertical com aceleração constante -g.
  • Dica prática: em prova, sempre integre componente a componente e aplique as condições iniciais para determinar as constantes de integração — é um padrão que vale para qualquer problema do tipo.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\left(v_{0x}\,t,\;v_{0y}\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}\right)

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