Exercício 3. Uma partícula se move com aceleração constante
. Se a velocidade inicial é
e a posição inicial é a origem, qual é o vetor posição
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
- A aceleração da partícula é
. - A velocidade inicial é
. - A posição inicial é a origem, isto é
.
O que o problema pede:
- Encontrar o vetor posição
da partícula para tempo genérico .
Passo 2
Relação entre aceleração, velocidade e posição (conceito-chave que vamos usar):
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
. - A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
.
Para obter
a partir de
fazemos integração no tempo:
onde
é uma constante vetorial determinada pela condição inicial
. Vou integrar componente a componente, que é o jeito mais simples e seguro.
Passo 3
Integração da aceleração para obter a velocidade (com explicações passo a passo):
- Componentes da aceleração:
e . - Integrando
:
Aplicando a condição inicial
resulta em
. Logo
- Integrando
: a antiderivada de uma constante é (porque ):
Aplicando
dá
. Portanto
Assim a velocidade em forma vetorial é
Passo 4
Integração da velocidade para obter a posição (novamente componente a componente):
- Integramos
:
Usando
(posição inicial) obtemos
. Logo
- Integramos
. A antiderivada de é e a antiderivada de é (pois ):
Usando
segue
. Portanto
Passo 5
Juntando as componentes obtemos o vetor posição final. Pequenas observações úteis para prova:
- As componentes são paramétricas:
e . - Isso é exatamente o movimento de um projétil sem resistência do ar: movimento horizontal com velocidade constante e movimento vertical com aceleração constante
. - Dica prática: em prova, sempre integre componente a componente e aplique as condições iniciais para determinar as constantes de integração — é um padrão que vale para qualquer problema do tipo.