Exercício 2. Encontre a representação cartesiana da trajetória descrita pela função vetorial
; ou seja, encontre a equação que descreve a curva em termos das coordenadas
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
Informações e o que é pedido:
- As componentes dependentes do parâmetro
são e . - O enunciado pede a representação cartesiana da trajetória, ou seja, uma equação que relacione
e sem aparecer o parâmetro . - Supõe-se
(ou seja, é um parâmetro real que varia livremente).
Passo 2
Escrevendo explicitamente as componentes como funções de
:
Explicação dos símbolos:
-
é a coordenada do ponto da curva no instante . -
é a coordenada do ponto da curva no instante . -
e são as funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo/parametro .
Passo 3
Isolamos
e
em função de
e
dividindo pelas constantes:
Observação: isso é válido porque
e
são não nulos, então podemos dividir sem problema.
Passo 4
Agora elevamos cada uma ao quadrado (para eliminar o sinal do seno e cosseno) e somamos as duas iguais:
Aqui usamos uma manipulação algébrica direta: quadrado de uma fração é fração dos quadrados.
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
que vem da definição de seno e cosseno no círculo unitário (as coordenadas de um ponto no círculo unitário satisfazem
). Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos:
Passo 6
Reescrevendo de forma mais familiar, obtemos a equação cartesiana da curva:
Interpretação geométrica (útil para a prova):
- Essa é a equação de uma elipse centrada na origem.
- Semi-eixo ao longo do eixo
: (porque ). - Semi-eixo ao longo do eixo
: (porque ). - Para
a posição é ; conforme cresce a partícula percorre a elipse (no sentido anti-horário, já que começa em e em ).
Passo 7
Dica rápida para questões semelhantes: se a parametrização tem a forma
, o procedimento padrão é isolar
e
, elevar ao quadrado e somar. O resultado sempre será
que descreve uma elipse (se
). Exemplo: para
obteríamos
.