Exercício 2. Encontre a representação cartesiana da trajetória descrita pela função vetorial r(t)=(2 \cos (t), 3 \operatorname{sen}(t)); ou seja, encontre a equação que descreve a curva em termos das coordenadas x e y.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
r(t) = \bigl(2\cos(t),\,3\operatorname{sen}(t)\bigr).
Informações e o que é pedido:
  • As componentes dependentes do parâmetro t são x(t) e y(t).
  • O enunciado pede a representação cartesiana da trajetória, ou seja, uma equação que relacione x e y sem aparecer o parâmetro t.
  • Supõe-se t\in\mathbb{R} (ou seja, t é um parâmetro real que varia livremente).

Passo 2

Escrevendo explicitamente as componentes como funções de t:
x(t)=2\cos(t),\qquad y(t)=3\operatorname{sen}(t).
Explicação dos símbolos:
  • x(t) é a coordenada x do ponto da curva no instante t.
  • y(t) é a coordenada y do ponto da curva no instante t.
  • \cos(t) e \operatorname{sen}(t) são as funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo/parametro t.

Passo 3

Isolamos \cos(t) e \operatorname{sen}(t) em função de x e y dividindo pelas constantes:
\cos(t)=\frac{x}{2},\qquad \operatorname{sen}(t)=\frac{y}{3}.
Observação: isso é válido porque 2 e 3 são não nulos, então podemos dividir sem problema.

Passo 4

Agora elevamos cada uma ao quadrado (para eliminar o sinal do seno e cosseno) e somamos as duas iguais:
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=\cos^{2}(t)+\operatorname{sen}^{2}(t).
Aqui usamos uma manipulação algébrica direta: quadrado de uma fração é fração dos quadrados.

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
\cos^{2}(t)+\operatorname{sen}^{2}(t)=1,
que vem da definição de seno e cosseno no círculo unitário (as coordenadas de um ponto no círculo unitário satisfazem x^{2}+y^{2}=1). Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos:
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=1.

Passo 6

Reescrevendo de forma mais familiar, obtemos a equação cartesiana da curva:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Interpretação geométrica (útil para a prova):
  • Essa é a equação de uma elipse centrada na origem.
  • Semi-eixo ao longo do eixo x: a=2 (porque a^{2}=4).
  • Semi-eixo ao longo do eixo y: b=3 (porque b^{2}=9).
  • Para t=0 a posição é (x,y)=(2,0); conforme t cresce a partícula percorre a elipse (no sentido anti-horário, já que \cos começa em 1 e \operatorname{sen} em 0).

Passo 7

Dica rápida para questões semelhantes: se a parametrização tem a forma x=A\cos t,\;y=B\sin t, o procedimento padrão é isolar \cos t e \sin t, elevar ao quadrado e somar. O resultado sempre será
\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1,
que descreve uma elipse (se A,B\neq0). Exemplo: para x=3\cos t,\;y=4\sin t obteríamos \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{16}=1.

Resposta

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1

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