Exercício 1 Calcule.
d)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser estudada é a função racional
. - O ponto para o qual
se aproxima é . - Se fizermos a substituição direta
, obtemos no numerador e no denominador , logo a forma direta é , que é uma forma indeterminada. (Isso significa que precisamos manipular a expressão para decidir o limite.)
Passo 2
Entendendo o que é um limite e a forma indeterminada
:
- A ideia de limite
é o valor ao qual se aproxima quando se aproxima de , sem que seja necessário que esteja definido. - A forma
é indeterminada porque, dependendo de como o numerador e o denominador se comportam (por exemplo se têm um fator comum), o quociente pode tender a vários valores. Por isso precisamos simplificar a expressão antes de tentar substituir. - Um método simples e usual aqui é fatorar o polinômio do numerador e cancelar fatores comuns com o denominador, quando isso for possível.
Passo 3
Fatorando o numerador
:
- Procuramos dois números que multiplicados dêem
(termo constante) e somados dêem (coeficiente de ). - Esses números são
e , porque e . - Portanto podemos escrever
Passo 4
Reescrevendo a fração e cancelando o fator comum:
- Substituindo a fatoração na expressão original obtemos
- Para
podemos cancelar o fator , ficando
- Observação importante de teoria: o limite quando
depende do comportamento da função em valores próximos de , não necessariamente do valor no próprio . Como a função coincide com em todos os pontos próximos de (exceto exatamente ), podemos usar a forma simplificada para calcular o limite.
Passo 5
Calcular o limite substituindo na expressão simplificada:
- Como para
próximo de a expressão se torna , temos
- Agora a substituição direta funciona (não há indeterminação):
Passo 6
Interpretação final e comentário extra (didático):
- O limite existe e vale
. A função original tem uma descontinuidade removível em : o valor da função não está bem definido em (pois daria ), mas se redefinirmos a função em como ela fica contínua. - Dica rápida: sempre que ao avaliar um limite direto aparecer
, tente fatorar e cancelar fatores comuns; essa é a técnica mais simples para funções polinomiais/racionais em provas. (Há outros métodos, como a regra de L’Hôpital, que também resolvem formas quando se pode derivar numerador e denominador, mas aqui a fatoração é mais direta.)