Exercício 1 Calcule.
d) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser estudada é a função racional f(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}.
  • O ponto para o qual x se aproxima é x=2.
  • Se fizermos a substituição direta x=2, obtemos no numerador 2^{2}+2-6=4+2-6=0 e no denominador 2-2=0, logo a forma direta é 0/0, que é uma forma indeterminada. (Isso significa que precisamos manipular a expressão para decidir o limite.)

Passo 2

Entendendo o que é um limite e a forma indeterminada 0/0:
  • A ideia de limite \lim_{x\to a} g(x) é o valor ao qual g(x) se aproxima quando x se aproxima de a, sem que seja necessário que g(a) esteja definido.
  • A forma 0/0 é indeterminada porque, dependendo de como o numerador e o denominador se comportam (por exemplo se têm um fator comum), o quociente pode tender a vários valores. Por isso precisamos simplificar a expressão antes de tentar substituir.
  • Um método simples e usual aqui é fatorar o polinômio do numerador e cancelar fatores comuns com o denominador, quando isso for possível.

Passo 3

Fatorando o numerador (x^{2}+x-6):
  • Procuramos dois números que multiplicados dêem -6 (termo constante) e somados dêem 1 (coeficiente de x).
  • Esses números são 3 e -2, porque 3\cdot(-2)=-6 e 3+(-2)=1.
  • Portanto podemos escrever
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).

Passo 4

Reescrevendo a fração e cancelando o fator comum:
  • Substituindo a fatoração na expressão original obtemos
\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}.
  • Para x\neq 2 podemos cancelar o fator (x-2), ficando
\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3\qquad\text{para }x\neq 2.
  • Observação importante de teoria: o limite quando x\to 2 depende do comportamento da função em valores próximos de 2, não necessariamente do valor no próprio x=2. Como a função coincide com x+3 em todos os pontos próximos de 2 (exceto exatamente 2), podemos usar a forma simplificada x+3 para calcular o limite.

Passo 5

Calcular o limite substituindo na expressão simplificada:
  • Como para x próximo de 2 a expressão se torna x+3, temos
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+3).
  • Agora a substituição direta funciona (não há indeterminação):
\lim_{x\to 2}(x+3)=2+3=5.

Passo 6

Interpretação final e comentário extra (didático):
  • O limite existe e vale 5. A função original tem uma descontinuidade removível em x=2: o valor da função não está bem definido em x=2 (pois daria 0/0), mas se redefinirmos a função em x=2 como 5 ela fica contínua.
  • Dica rápida: sempre que ao avaliar um limite direto aparecer 0/0, tente fatorar e cancelar fatores comuns; essa é a técnica mais simples para funções polinomiais/racionais em provas. (Há outros métodos, como a regra de L’Hôpital, que também resolvem formas 0/0 quando se pode derivar numerador e denominador, mas aqui a fatoração é mais direta.)

Resposta

5

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