Exemplo 4 Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede calcular, se existir, o limite
Informações fornecidas:
- A expressão a ser estudada é
. - O ponto onde o limite é tomado é
. - O denominador contém valor absoluto
, que tem comportamento diferente à esquerda e à direita de . - Não há imagem nem outras restrições.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio do numerador
.
Explicando como fatorar: procurar dois números que multiplicados deem e somados deem
. Esses números são
e
porque
e
. Assim,
Explicando como fatorar: procurar dois números que multiplicados deem
Verificação rápida (para ter confiança): expandindo
obtém-se
, certo.
Passo 3
Reescrevendo a expressão do limite usando a fatoração (válido para
, que é o que interessa para limite):
Comentário didático: não podemos “cancelar”
com
diretamente porque
não é igual a
em todos os pontos; por isso deixamos a razão
explícita. Para estudar o limite em
consideramos
próximos de
mas diferentes de
, então essa manipulação é legítima.
Passo 4
Entender a função
Aplicando com
então
e
.
- Se então
e
.
Portanto é a função sinal de
: vale
à direita de
e
à esquerda de
.]
- Se
Portanto
Passo 5
Calcular o limite pela direita (
). Para
a expressão reduz-se a
Como
é contínua, ao aproximar
de
pela direita obtém-se
Passo 6
Calcular o limite pela esquerda (
). Para
a expressão reduz-se a
Novamente,
é contínua, então ao aproximar
de
pela esquerda:
Passo 7
Conclusão pelo critério de limites: para que
exista como número finito é necessário e suficiente que os limites laterais
e
existam e sejam iguais. Aqui encontramos limites laterais diferentes:
Como
, o limite bilateral não existe.
Resposta
O limite não existe.