Exemplo 4 Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
b) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}.
Informações fornecidas:
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{x^{2}+x-6}{|x-2|}.
  • O ponto onde o limite é tomado é x=2.
  • O denominador contém valor absoluto |x-2|, que tem comportamento diferente à esquerda e à direita de 2.
  • Não há imagem nem outras restrições.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio do numerador \,x^{2}+x-6.
Explicando como fatorar: procurar dois números que multiplicados deem -6 e somados deem +1. Esses números são 3 e -2 porque 3\cdot(-2)=-6 e 3+(-2)=1. Assim,
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3).
Verificação rápida (para ter confiança): expandindo (x-2)(x+3) obtém-se x^2+3x-2x-6=x^2+x-6, certo.

Passo 3

Reescrevendo a expressão do limite usando a fatoração (válido para x\neq2, que é o que interessa para limite):
\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}=\frac{(x-2)(x+3)}{|x-2|} =(x+3)\cdot\frac{x-2}{|x-2|}\qquad (x\neq2).
Comentário didático: não podemos “cancelar” (x-2) com |x-2| diretamente porque |x-2| não é igual a x-2 em todos os pontos; por isso deixamos a razão \dfrac{x-2}{|x-2|} explícita. Para estudar o limite em x\to2 consideramos x próximos de 2 mas diferentes de 2, então essa manipulação é legítima.

Passo 4

Entender a função \dfrac{x-2}{|x-2|}\). Lembrando definição do valor absoluto: para qualquer \(u\), \[|u|=\begin{cases} u,& u\ge0,\\[4pt] -\,u,& u<0. \end{cases}
Aplicando com u=x-2\]: - Se \(x>2 então |x-2|=x-2 e \dfrac{x-2}{|x-2|}=\dfrac{x-2}{x-2}=1.
- Se x<2 então |x-2|=-(x-2)=2-x e \dfrac{x-2}{|x-2|}=\dfrac{x-2}{-(x-2)}=-1.
Portanto \dfrac{x-2}{|x-2|} é a função sinal de x-2: vale +1 à direita de 2 e -1 à esquerda de 2.]

Passo 5

Calcular o limite pela direita ( x\to2^{+}). Para x>2 a expressão reduz-se a
\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}=(x+3)\cdot 1 = x+3.
Como x+3 é contínua, ao aproximar x de 2 pela direita obtém-se
\lim_{x\to2^{+}}\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}=\lim_{x\to2^{+}}(x+3)=2+3=5.

Passo 6

Calcular o limite pela esquerda ( x\to2^{-}). Para x<2 a expressão reduz-se a
\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}=(x+3)\cdot(-1)=-(x+3).
Novamente, -(x+3) é contínua, então ao aproximar x de 2 pela esquerda:
\lim_{x\to2^{-}}\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}=\lim_{x\to2^{-}}-(x+3)=-(2+3)=-5.

Passo 7

Conclusão pelo critério de limites: para que \lim_{x\to2} f(x) exista como número finito é necessário e suficiente que os limites laterais \lim_{x\to2^{+}} f(x) e \lim_{x\to2^{-}} f(x) existam e sejam iguais. Aqui encontramos limites laterais diferentes:
\lim_{x\to2^{+}}\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}=5\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to2^{-}}\frac{x^{2}+x-6}{|x-2|}=-5.
Como 5\neq-5, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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