Exercício 1 Calcule.
j) \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{1}{t \sqrt{1+t}}-\frac{1}{t}\right)\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\rightarrow 0}\left(\frac{1}{t\sqrt{1+t}}-\frac{1}{t}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão depende de t e o limite é quando t se aproxima de 0.
  • A expressão contém \sqrt{1+t}, portanto exige 1+t\ge 0, isto é t\ge -1; como estamos aproximando t por 0, essa condição é satisfeita no entorno de 0.
  • Há um termo 1/t, logo a expressão não está definida em t=0; o limite considera valores de t distintos de 0 que se aproximam de 0.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite (se existir).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar as parcelas sobre um mesmo denominador para obter uma única fração. Fazendo isso,
\frac{1}{t\sqrt{1+t}}-\frac{1}{t} = \frac{1}{t\sqrt{1+t}}-\frac{\sqrt{1+t}}{t\sqrt{1+t}} = \frac{1-\sqrt{1+t}}{t\sqrt{1+t}}.
Explicação: multiplicou-se o segundo termo por \dfrac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1+t}} para igualar denominadores; o numerador resultante é 1-\sqrt{1+t}.

Passo 3

Verificação de indeterminação: ao substituir t=0 na fração obtida,
1-\sqrt{1+0}=0 \qquad\text{e}\qquad t\sqrt{1+t}\big|_{t=0}=0,
portanto temos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. É necessário simplificar a expressão para eliminar essa indeterminação. Uma técnica útil aqui é racionalizar o numerador usando o conjugado 1+\sqrt{1+t}.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1+\sqrt{1+t}:
\frac{1-\sqrt{1+t}}{t\sqrt{1+t}}\cdot\frac{1+\sqrt{1+t}}{1+\sqrt{1+t}} = \frac{(1-\sqrt{1+t})(1+\sqrt{1+t})}{t\sqrt{1+t}\,(1+\sqrt{1+t})}.
No numerador aparece uma diferença de quadrados:
(1-\sqrt{1+t})(1+\sqrt{1+t})=1-(\sqrt{1+t})^2=1-(1+t)=-t.
Logo a expressão vira
\frac{-t}{t\sqrt{1+t}\,(1+\sqrt{1+t})}.

Passo 5

Cancelamento do fator t: como estamos trabalhando com t aproximando 0 mas t\neq 0, é legítimo simplificar o fator t em numerador e denominador:
\frac{-t}{t\sqrt{1+t}\,(1+\sqrt{1+t})} = \frac{-1}{\sqrt{1+t}\,(1+\sqrt{1+t})}.
Agora a expressão simplificada não é mais indeterminada perto de t=0 e é contínua no entorno de 0.

Passo 6

Aplicar o limite na expressão simplificada, usando continuidade das funções envolvidas:
\lim_{t\to 0}\frac{-1}{\sqrt{1+t}\,(1+\sqrt{1+t})} = \frac{-1}{\sqrt{1+0}\,(1+\sqrt{1+0})} = \frac{-1}{1\cdot(1+1)} = -\frac{1}{2}.

Passo 7

Checagem alternativa (rápida): usando expansão em série (opcional), \sqrt{1+t}=1+\tfrac{t}{2}+o(t), então
\frac{1}{t\sqrt{1+t}}-\frac{1}{t} =\frac{1}{t}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t}}-1\right) \approx\frac{1}{t}\left(1-\frac{t}{2}-1\right)=-\frac{1}{2}+o(1),
confirmando o mesmo resultado -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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