Exercício 1 Calcule.
j)
j)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão depende de
e o limite é quando se aproxima de . - A expressão contém
, portanto exige , isto é ; como estamos aproximando por , essa condição é satisfeita no entorno de . - Há um termo
, logo a expressão não está definida em ; o limite considera valores de distintos de que se aproximam de . - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite (se existir).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar as parcelas sobre um mesmo denominador para obter uma única fração. Fazendo isso,
Explicação: multiplicou-se o segundo termo por
para igualar denominadores; o numerador resultante é
.
Passo 3
Verificação de indeterminação: ao substituir
na fração obtida,
portanto temos a forma indeterminada
. É necessário simplificar a expressão para eliminar essa indeterminação. Uma técnica útil aqui é racionalizar o numerador usando o conjugado
.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
:
No numerador aparece uma diferença de quadrados:
Logo a expressão vira
Passo 5
Cancelamento do fator
: como estamos trabalhando com
aproximando
mas
, é legítimo simplificar o fator
em numerador e denominador:
Agora a expressão simplificada não é mais indeterminada perto de
e é contínua no entorno de
.
Passo 6
Aplicar o limite na expressão simplificada, usando continuidade das funções envolvidas:
Passo 7
Checagem alternativa (rápida): usando expansão em série (opcional),
, então
confirmando o mesmo resultado
.