Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas.
f(x)=14-1 / 2 x^{-3}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada da função \,f(x)=14-\tfrac{1}{2}x^{-3}\,.
Informações dadas:
\,f(x)=14-\tfrac{1}{2}x^{-3}\, é composta por duas parcelas: uma constante \,14\, e uma parcela com potência negativa \,-\tfrac{1}{2}x^{-3}\,.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (breve aula):
  • Derivada de constante: a derivada de qualquer constante \,C\, é \,0. Ou seja, \,\dfrac{d}{dx}C=0\,.
    Expliquei: isso faz sentido porque uma constante não muda quando x varia.
  • Regra do produto por constante (constante fator): se \,g(x)\, é derivável e \,a é constante, então \,\dfrac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x)\,.
    Expliquei: pode puxar a constante para fora da derivada.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real \,n\,, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.Explicação: essa é a regra mais usada para polinômios e potências; por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2} porque aplicamos \,n=3\,.

Passo 3

Aplicando as regras à nossa função, separamos as parcelas:
f(x)=\underbrace{14}_{\text{constante}}+\underbrace{\bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-3}\bigr)}_{\text{constante}\times x^{-3}}.
A derivada será a soma das derivadas das parcelas (regra da soma).

Passo 4

Derivada da primeira parcela:
\dfrac{d}{dx}\bigl(14\bigr)=0
(porque é constante).

Passo 5

Derivada da segunda parcela: aplicamos a regra da constante por função e a regra da potência.
Primeiro, a derivada de \,x^{-3}\, é, pela regra da potência, -3x^{-4}:
\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{-3}\bigr)=-3x^{-4}.
Agora multiplicamos pelo fator constante -\tfrac{1}{2}:
\dfrac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-3}\Bigr)=-\tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-3x^{-4}\bigr).
Fazendo a multiplicação de constantes:
-\tfrac{1}{2}\cdot(-3)=\tfrac{3}{2},
logo
\dfrac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-3}\Bigr)=\tfrac{3}{2}x^{-4}.

Passo 6

Juntando as duas parcelas (derivada da soma é soma das derivadas):
f'(x)=0+\tfrac{3}{2}x^{-4}=\tfrac{3}{2}x^{-4}.
Se preferir uma forma com expoente positivo no denominador, usamos x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}, obtendo
f'(x)=\dfrac{3}{2x^{4}}.

Resposta

\,f'(x)=\tfrac{3}{2}x^{-4}=\dfrac{3}{2x^{4}}\,

Exercícios relacionados